数列的极限经典习题

Chap1数列的极限1.设01,2,nxn及limnnxa,用N语言,证明:limnnxa.证0nx,0a.(1)当0a时,那么lim0nnx,下证lim0nnx.0,则存在0N,当nN时,200nnxx.nx,此即0nx.lim0nnx.(2)当0a时,0,存在0N,当nN时,nxaa.nnnnxaxaxaxaa.limnnxa.综上两方面,即证.2.已知limnnxa,用N语言,证明:33limnnxa.证(1)当0a时,那么lim0nnx,0,存在0N,当nN时,2nx;3nx,此即33lim0nnxa.(2)当0a时,因为22222333333331330244nnnxxaaxaaa.令23324M,limnnxa,则对0,存在0N,当nN时,有nxaM.而33223333nnnnxaxaxxaa1nxaMMM33limnnxa.3.(算术平均收敛公式)设limnnxa.令12nnxxxn,求证:limnna.证法1由施笃兹公式12limlimnnnnxxxn12121lim1nnnxxxxxxnnlimnnxa.证法2由limnnxa,则0,存在10N,使当1nN时,有2nxa.①1112111nNNnxxxaxaxaxaxann令111Ncxaxa,那么1212nxxxnNcannn.②存在20N,使当2nN时,有2cn.再令12max,NNN,故当nN时,由①,②有1212222nxxxnNann.12limlimnnnnxxxan.4.(几何平均收敛公式)设01,2,nxn.且limnnxa.证明:12limnnnxxxa.证limnnxa,limlnlnnnxa.再由算术平均收敛公式可知121lnlnlnln12limlimnxxxannnnnxxxeea.5.证明:lim1nna,其中1a.证令11na,则0,依伯努利不等式,有11111nnanna,即111naan.要111nnaa,只要1an.所以,有1an.取1aN,则当nN时,就有1an,即1na.6.证明:若limnnaa,则limnnaa.当且仅当a为何值时逆命题也成立.证由题设limnnaa,知0,0N,当nN时,皆有naa.从而当nN时总有nnaaaa,所以limnnaa.当且仅当0a时,逆命题也成立.7.设aR,且1a,用N语言,证明:lim0nnna.证当2n时,有2221121111nnnnnannanaa(由二项展开式得)要使2211na,只需2211na.即若取2221Na,则当nN时,就有2211nnanna,所以lim0nnna.数列nna,1a,aR是无穷小序列.8.利用单调有界性证明:设10xa,10yb,且1nnnxxy,112nnnyxy.1,2,n.则limlimnnnnxy.证0nx,0ny是显然的.由112nnnnnnxyyxyx,得1nnnnnnxxyxxx,122nnnnnnxyyyyy.知nx单调增加,ny单调减少,又1nnxyy,1nnyxx,所以nx,ny有界.即limnnxA,limnnyB存在.对12nnnxyy两边取极限,得12BABAB.9.证明:数列11nn单调增加,数列111nn单调减少,两者收敛于同一极限.证记11nnxn,111nnyn,由平均值不等式12121nnnaaaaaan,知111111111nnnnnnxxnn,21111111112nnnnnnnnynny,即nx单调增加,ny单调减少,且1114nnxxyy.所以nx,ny单调有界,必定收敛.由11nnyxn,知它们有相同的极限.即111lim1lim1nnnnenn.10.证明:若111ln2ann.则数列na收敛.证由上例知11111nnenn,两边取对数得,11ln111ln1nnnn,即有不等式111ln11nnn.则11ln1ln1nnaannn11ln101nn,111ln2nann231ln+lnlnln12nnnln1ln0nn即na单调减少有下界,所以na收敛.11.设数列nx满足:01x,12nnxx,1,2,3n.证明:数列nx收敛,并求limnnx.证01x,12122x,342122xx.用数学归纳法可证21112222,0,1,2nnnnxn①11212122nnnn.由①式知10,1nnxxn即nx单调递增.再由①式知12nx,nx收敛.设limnnxa,则1a.12nnxx,两边取极限有:2aa.22aa,又0a.2a,即lim2nnx.12.设0a,10xa,12nnnxxxa,1,2,3n.证明:数列nx收敛,并求其极限.证先用数学归纳法证明0nxa,nN①当1n时,结论成立,归纳假设结论对n成立,再证1n时,因为2112nnnnxxxxaaaa,10nxa.即①式成立.1221nnnxxaxaa.nx单调递增,且有上界.limnnx存在.设为limnnxb.由12nnnxxxa,两边取极限得2bbba②由①式及nx单调递增,显然0b,由②式解得ba.limnnxa.