建筑力学：静定结构位移计算

第十四章静定结构的位移计算一、结构的位移概念在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或截面位置发生改变，叫作结构的位移。平面杆件结构的位移：１、线位移：水平位移竖向位移２、转角位移（角位移）§14-1计算结构位移的目的广义位移概念：１、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移；２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。二、计算结构位移的目的１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差三、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。结构的位移计算依据变形体的虚功原理。刚体虚功原理是其特殊（简单）情况。一、实功１、常力实功实功的力和位移两要素相关。在外力FP作用下，刚体沿力的方向发生位移△。W=FP△=FP△`cosa§14-２虚功原理2、静力实功在静外力FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△11。静力实功为：W=FP1△11/2二、虚功在简支梁上先加载FP1，使力FP1作用点的位移达到终值△11，再加载FP2，使力FP1的作用点发生位移△12，力FP1在位移△12上作的功叫虚功,即：W12=FP1△12虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功。实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。ΔKj位移发生的位置产生位移的原因三、刚体的虚功原理及应用１、刚体的虚功原理在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移符合约束条件，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即W12＝０。利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。因此，虚功原理有两种应用。分析：梁在荷载作用下其支座反力有静定解，即荷载与支座反力组成满足静力平衡条件的力状态。若再有一个恰当的与支座约束相容的刚体位移状态，就可由虚功原理求支座反力。例1用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反力FBy。解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生沿Fby方向的刚体虚位移。２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入W12=0得虚功方程：FBy△B﹣FP△P=0由虚位移图的几何关系可知△P/△B＝a/l得:FBy＝FPa/l(↑)（实际）力状态（虚）位移状态说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单起见，可设虚位移△B＝1，则本题求解过程如下:FBy×1﹣FPdP=0即，FBy﹣FPdP=0由dP=a／l得，FBy＝FPa／l(↑)这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移法）。单位位移法步骤：１）去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移；３）令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。４）结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。２、静定结构在支座移动时的位移计算例2图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理求梁Ｃ点的竖向位移DCV。分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力平衡条件求出支座反力FBy＝FPa／l(↑)显然虚力系是满足静力平衡条件的力状态。２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚功方程：FP△CV﹣（FPa／l)b=0△CV＝ab／l(↓)说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。同上例一样，本例可设一个虚单位力FP=１，则有FBy＝a／l(↑)虚功方程为：1×△CV﹣（a／l)b=0△CV＝ab／l(↓)这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单位荷载法或单位力法）。单位力法步骤：１）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支座反力。２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作虚功，建立虚功方程并求解。３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相反。位移计算步骤是：１）虚设单位力系，并求该力系的支座反力；２）代入计算公式，计算位移。３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向。例3图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角。解：１）求DEV位移公式D=-∑rici(6-2-1)DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)２）求=-(-5/2l)a=5a/(2l)()一、杆件局部（微段）变形时的位移图示梁，仅在ＢＣ微段ds上发生变形，其它部分仍保持刚性。若仅考虑CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ截面的内力。代入公式：D=-∑ricidD=-(-MCd-QCd-NCd)dD=MCd＋QCd＋NCd§14-4静定结构在荷载作用下的位移计算二、变形杆件的位移D=∫dD=∫(MCd＋QCd＋NCd)当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时：D=∑∫(MCd＋QCd＋NCd)-∑rici（a）该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成：１×D＋∑rici=∑∫(MCd＋QCd＋NCd)变形体的虚功原理：若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即W=V。因为d=dsd=dsd=ds代入式(a)D=∑∫MCds＋∑∫QCds＋∑∫NCds-∑rici(c)对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：=MP/EI=FQP/GA=FNP/EA同时考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位力位置的下标省略，则式（c）可写：D=∑∫(M1MP/EI)ds＋∑∫(FQP/GA)ds＋∑∫(NFNP/EA)ds-∑ricD=∑∫MCds＋∑∫QCds＋∑∫NCds-∑rici(c)对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：=MP/EI=FQP/GA=FNP/EA同时考虑一般性和书写方便，将虚内力中表示单位力位置的下标省略，则式（c）可写：D=∑∫(M1MP/EI)ds＋∑∫(QFQP/GA)ds＋∑∫(NFNP/EA)ds-∑rici一、各类静定结构的位移计算公式１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响D=∑∫(M1MP/EI)ds２）桁架：只考虑轴向变形的影响D=∑∫(NFNP/EA)dsD=∑NFNPl/EA３）组合结构：D=∑∫(M1MP/EI)ds＋∑∫(NFNP/EA)ds(6-4-3)４）拱D=∑∫(M1MP/EI)ds＋∑∫(NFNP/EA)ds(6-4-4)二、静定梁、刚架的位移计算１、积分法：例17-4-1求图示刚架Ｃ截面的水平位移DCH和Ａ、Ｂ两截面的相对转角。各杆EI=常数。解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别对各杆件写出弯矩函数M1、ＭＰ，代入积分公式计算位移。１）求DCHAB杆(0≤x1≤l)MP=qlx1/2-qx12/2M1=-x1/2AC杆(0≤x1≤l/2)MP=0M1=x2DCH=(1/EI)∫l(-x1/2)(qlx1/2-qx12/2)dx1=-ql4/48EI(→)２）求AB杆(0≤x1≤l)MP=M1=0AC杆(0≤x1≤l/2)MP=qlx1/2-qx12/2M1=-1=(1/EI)∫l(-1)(qlx1/2-qx12/2)dx1=-ql3/12EI()说明：注意利用D=∑∫(M1MP/EI)ds时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。§14-5图乘法kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα注：①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112==ql2/2MMPMPP=1lM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABEIqlllqlEIB843231142==D例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4b）当EI分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432==Da/2a/2PaaaEI=D343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×llEIyC22210××==Dw5Pl/6？？⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332al=2yydxMMki=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非标准抛物线乘直线形P=111ly1y2y3M23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222==EIqllqllqllqlEI()1332211=DMyyyEIwww1=N0=N↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==DPNEAqlEAlqlEAlNN求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()=EI-756×××3322318××××EI643636311×××