古典概型与几何概型

概率论与数理统计§1.3古典概型与几何概型本节主要内容1.3.1排列与组合公式1.3.2古典概型1.3.3几何概型§1.3事件的概率及性质1.3.1排列与组合公式1.排列从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列。此种排列的总数为若r=n，则称为全排列；全排列的总数为An=n!．§1.3事件的概率及性质)!(!)1()1(rnnrnnnArn1.3.1排列与组合公式2.重复排列从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n．§1.3事件的概率及性质1.3.1排列与组合公式3.组合从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合。此种组合的总数为易知，．排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用．§1.3事件的概率及性质)!(!!!)1()1(rnrnrrnnnCrn!rCArnrnrnnrnCC1.3.2古典概型1.古典概型概念具有以下两个特点的试验称为古典概型：(1)有限性：试验的样本空间只含有限个样本点；(2)等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同．§1.3事件的概率及性质1.3.2古典概型1.古典概型概念对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点，事件A包含k个样本点，则事件A的概率为古典概型下的概率常称为古典概率。一般地，古典概型下事件发生的概率为0，则一定是不可能事件。其他未必。§1.3事件的概率及性质nkAAP中所有样本点的个数中所包含样本点的个数事件)(1.3.2古典概型【例1.6】（摸球问题）箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1+)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率．分析：判断试验的类别？判断是用排列还是组合来考虑？解：接连不放回地取k+1个球的所有结果共有个，即样本空间中共有个（有限个）样本点．最后取出的白球可以是个白球中的任一个，共有种取法，§1.3事件的概率及性质1kA1kA1.3.2古典概型【例1.6】（摸球问题）箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1+)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率．解：其余k个可以是其余+–1个的任意k个，共有种取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一个是白球”中共含有个样本点，于是§1.3事件的概率及性质kA1kA111)(kkAAAP与k无关！1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”．§1.3事件的概率及性质1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；分析：可以判断本题试验仍为古典概型，先求样本空间中样本点总数。因每个人可以被分配到N间房中任一间，故n个人被分配到房间共有Nn种方式，即样本空间中样本点总数为Nn．§1.3事件的概率及性质1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；解：（1）“某指定n间房中各有一人”的分配方法共有n!种，因而事件A中含有n!个样本点，于是§1.3事件的概率及性质nNnAP!)(1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”；解：（2）这n间房可自N间中任意选出，共有种选法，因而事件B中含有个样本点，于是§1.3事件的概率及性质nNC!nCnN)!(!nNNNnnnNNnCBP!)(1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”．解：（3）事件C中m个人可从n个人中任意选出,共有种选法，其余n–m个人可以任意分配到其余N–1间房里，共有个分配法，§1.3事件的概率及性质mnCmnN)1(1.3.2古典概型【例1.7】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”．解：（3）因而事件C中有个样本点，于是§1.3事件的概率及性质mnmnNC)1(nmnmnNNCCP)1()(mnmmnNNNC1)1(1.3.2古典概型2.古典概率的缺陷在实际问题中如何判定试验的基本结果发生的可能性是否相同，仅凭主观判断是不完全确定的。要判定事件发生的可能性大小，特别是基本事件是否为等可能发生时，一般最为可靠的办法是重复多次试验。另，古典概率，包括统计概率，考虑的试验基本结果都是有限个，无限个情形无法考虑。§1.3事件的概率及性质1.3.3几何概型具有以下两个特点的试验称为几何概型：(1)随机试验的样本空间为某可度量的区域；(2)中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关．§1.3事件的概率及性质1.3.3几何概型对于几何概型，若事件A是中的某一区域，且A可以度量，则事件A的概率为其中，如果是一维、二维或三维的区域，则的几何度量分别是长度、面积和体积．几何概型下的概率常称为几何概率。§1.3事件的概率及性质的几何度量的几何度量AAP)(1.3.3几何概型【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．分析：首先判断试验是否是几何概型，这需要用数学方式来看待试验，这是关键一步。如果解决，不仅可以判断是否为几何概型，而且在是的情形下，能方便给出样本空间和事件的数学表达，进而能找到各自的几何度量。§1.3事件的概率及性质1.3.3几何概型【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．分析：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为单位），在平面上建立xOy直角坐标系。因甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，样本空间为可度量的矩形区域，且这种等可能保证了试验满足几何概型的第二个条件，因此这是一个几何概型问题。§1.3事件的概率及性质1.3.3几何概型【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解：样本空间={(x，y)：0x，y60}事件A=“甲乙将会面”={(x，y)：|x–y|20}因此§1.3事件的概率及性质的面积的面积AAP)(956040602221.3.3几何概型参考教材还有另外一个经典几何概型问题（蒲丰投针问题），可根据上述分析方法考虑。说明：几何概率考虑的是无限个试验结果的问题，虽然不同于统计概率和古典概率，但几何概率也有局限性。如（贝特朗奇论）：在一半径为r的圆内“任意”作一弦，试求此弦长度大于圆内接等边三角形的边长的概率。至此，我们拿到计算概率问题时，首先需要判断概型，不同的概型有不同的概率公式。§1.3事件的概率及性质【例1.9】随机地向边长为1的正方形内投点，试求点投在正方形的一条对角线上的概率（见图）．分析：首先判断概型。解：样本空间={(x，y)：0x，y1}事件A=“点投在正方形的对角线上”={(x，y)：x=y}因此启示：概率为0的事件未必是不可能事件，可能发生。§1.3事件的概率及性质正方形的面积对角线段的面积)(AP0101.基本概念：排列组合、古典概型、几何概型；2.概率计算：不同概型下概率的计算方法；3.区分概型。本节小结作业习题一(A)(P25)：三、解答题:5,8,9,11