判定平行四边形的五种方法

1判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，AFBDCE图12这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。3图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：4将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。==