分形几何期末报告

分形学期末报告人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。它是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。它被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科，即分形地理学。1.什么是分形“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（BenoitB.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英文中frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山西五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有了“日月光明，分形变化”的语句。人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。所以,一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然的几何。下面给出“分形”的三个定义：定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体相似的形状叫分形。定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）,无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性仍然是明显的。定义3（现代）设几何F∋𝑅𝑛的Hausdorff维度是D，如果F的Hausdorff维度D严格大于其拓补维度，我们称F为分形集。2.分形的自相似性分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性，不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形,由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形,如图1所示。图1三次koch曲线它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图1(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。3.分形的标度不变性所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。4.分形维数的定义和测算维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。4.1.拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式211()1614()4N若r=1/4，则211()1614()4N当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则2211()1()Nkkk一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r的关系为1()dNrr，变形得ln()ln(1/)Nrdr定义为拓扑维数。4.2.Hausdorff维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义00ln()limln(1/)rNrDr上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。4.3.信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为Pi，那么用尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为()1lnNriiiIPP若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D1的定义()110lnlimln(1/)NriiirPPDr如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即1iPN，110011lnlnlimlimln(1/)ln(1/)NirrNNNDrr可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1D0。4.4.关联维数空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间的维数即所谓的关联维数。分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变量共同作用而产生的。为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演化序列，然后按某种方法就可以构建新维。如果有一等间隔的时间序列为{x1，x2，x3，…，xi，…}，就可以用这些数据支起一个m维子相空间。方法是，首先取前m个数据x1，x2，…，xm，由它们在m维空间中确定出第一个点，把它记作X1。然后去掉x1，再依次取m个数据x2，x3，…，xm+1，由这组数据在m维空间中构成第二个点，记为X2。这样，依此可以构造一系列相点112223133424453()()()()mmmmXxxxXxxxXxxxXxxx：，，，：，，，：，，，：，，，把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，2,11()()NijijijCrrXXN，10()00xxx，，为Heaviside阶跃函数。若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有()DCrr如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称为关联维数，用D2表示，即20ln()limlnrCrDr。5.标度律与多重分形。5.1.标度律分形的基本属性是自相似性。表现为，当把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变，只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因子，这种尺度变换的不变性也称为标度不变性，是分行的一个普适规律。有001()()()DDNrNrr。海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，01()()()()DLrrNrrNrLr01D为标度指数。上式表明，把用尺度r测量的分形长度L(r)再缩小(或放大)λα倍就和用缩小(或放大)了的尺度λr测量的长度相等。最重要的是这种关系具有普适性。究竟普适到什么程度是由标度指数α来分类的，这称为普适类。具有相同α的分形属于同一普适类，同一普适类的分形也具有相同的分维D0。一般情况下，可以把标度律写为()()frfr，f是某一被标度的物理量，标度指数α与分维D0之间存在着简单的代数关系0dD，d为拓扑维数。5.2.多重分形对于非均匀分布的分形，可以看作由单分形集合构成的集合，它的标度指数α和分维D都不再是常量，这样的分形称为多重分形。理想的表达方法是，把α看作是连续变化的，在α和α+dα这个间隔是一个以单值α为特征和分维为f(α)的单分形集合，把所有不同α的单分形集合相互交织在一起就形成多重分形。6.分形的应用6.1.甘省城镇体系的分形研究6.11.城镇体系规模结构的分形特征城镇体系规模分布具有自相似性，即满足分形的特征。对于一个区域的城镇若给定一个人口尺度r去度量，则人口大于r的城镇数N(r)与r的关系满足：()DNrrln()lnNrADr采用甘肃省1999年14个城市的数据，模拟的结果可见下图，分维值D=0.8714，由于D1，这说明甘肃省城镇规模分布较为分散，首位城市垄断性强，人口分布差异程度大。分维值也验证了上面首位指数及不平衡指数有效性。6.12.城镇体系空间结构的分形特征各城镇在地域空间上的布局，反映了一个区域城镇体系的空间结构。从理论上讲，在一个区域内，各个城镇之间的相互作用与空间联系是客观存在的。因此，可以运用分形理论中的关联维数来模拟城镇之间的相互作用和空间联系。其基本模型如下：0ln()limlnrCrDr1()()2,1NCrHrdijNij1()0drijHrdijdrijy=-0.8714x+11.877R2=0.932800.51