2017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形

12017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形1．(2016·课标Ⅲ，5，易)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.16251．Acos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34916＋1＝4×1625＝6425.2．(2016·课标Ⅱ，9，中)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()2A.725B.15C．－15D．－7252．Dsin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×352－1＝－725.3．(2015·课标Ⅰ，2，易)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.123．D原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.4．(2013·浙江，6，中)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－434．C方法一(通法)：由sinα＋2cosα＝102，sin2α＋cos2α＝1，可解得sinα＝－1010，cosα＝31010或sinα＝31010，cosα＝1010.因此tanα＝－13或tanα＝3，于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.方法二(优法)：(sinα＋2cosα)2＝52，展开得3cos2α＋4sinα·cosα＝32，再由二倍角公式得32cos2α＋2sin2α＝0，故tan2α＝sin2αcos2α＝－322＝－34，选C.35．(2014·课标Ⅰ，8，中)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π25．C由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α.∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α－β∈－π2，π2，π2－α∈0，π2，∴由sin(α－β)＝sinπ2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2，故选C.思路点拨：通过切化弦将已知条件转化为角α，β的正弦与余弦的关系式，然后根据诱导公式得到角之间的关系．6．(2016·四川，11，易)cos2π8－sin2π8＝________.6．【解析】cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.【答案】227．(2016·浙江，10，易)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0)，则A＝________，b＝________.7．【解析】∵2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴sin2x＋cos2x＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b.∴2sin2x＋π4＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝2，b＝1.4【答案】218．(2015·四川，12，易)sin15°＋sin75°的值是________．8．【解析】方法一：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝222sin15°＋22cos15°＝2(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝2sin60°＝2×32＝62.方法二：由于(sin15°＋sin75°)2＝(sin15°＋cos15°)2＝1＋2sin15°cos15°＝1＋sin30°＝32，又sin15°0，sin75°0，所以sin15°＋sin75°0，故sin15°＋sin75°＝62.【答案】629．(2013·四川，13，易)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．9．【解析】方法一：sin2α＝－sinα⇒2sinαcosα＝－sinα，∵α∈π2，π，∴sinα≠0，∴cosα＝－12，则sinα＝32，∴tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－3＝3.方法二：同方法一，得cosα＝－12，又α∈π2，π，则α＝2π3.∴tan2α＝tan4π3＝3.5【答案】310．(2014·江苏，15，14分，中)已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．10．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.高考对三角恒等变换的考查主要有三个角度：(1)给角求值；(2)给值求角；(3)给值求值．试题以选择题、填空题出现，分值为5分．以解答题的形式出现时，一般为中、低档题目，分值为12分．6(1)(2013·重庆，9)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)(2015·江苏，8)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.①求A的值；②若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.【解析】(1)原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos（40°－30°）－sin40°cos40°＝2（cos40°cos30°＋sin40°sin30°）－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.(2)方法一：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.方法二：由于tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ，所以由已知得－2＋tanβ1＋2tanβ＝17，解得tanβ＝3.(3)①f5π12＝Asin5π12＋π4＝Asin2π3＝32A＝32，∴A＝3.②∵f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π47＝3sinθ·cosπ4＋cosθ·sinπ4＋3sin（－θ）·cosπ4＋cos（－θ）·sinπ4＝23cosθ·sinπ4＝6cosθ＝32，∴cosθ＝64.又θ∈0，π2，∴sinθ＝104.∴f3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝304.题(1)是典型的给角求值问题，解决的关键是将式中的非特殊角通过运用角的变换及相关公式转化为特殊角，再通过分子分母约分、正负项抵消等方法求得结果．在转化特殊角时，利用了两角和与差的公式．题(2)是典型的给值求值问题，解题关键是寻求已知角与未知角的关系，巧妙借助角的变换求解(方法一)，方法二根据公式，通过解方程求值．解题(3)的思路是①由f5π12的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝32可得cosθ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sinθ，再化简f3π4－θ可得答案．(2015·山东淄博二模，11)若x，y都是锐角，且sinx＝55，tany＝13，则x＋y＝________.【解析】由x，y都是锐角，且sinx＝55，tany＝13，可得cosx＝255，siny＝tan2y1＋tan2y＝1010，cosy＝31010.cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny＝255×31010－55×1010＝22.故x＋y＝π4.【答案】π4,8三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．1．(2015·安徽阜阳期末，7)化简cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B.3C.2D．21.C原式＝cos220°－sin220°cos25°sin220°－2sin20°cos20°＋cos220°＝cos220°－sin220°cos25°（cos20°－sin20°）＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.2．(2016·河北保定一模，6)已知cosα＋π3＝sinα－π3，则tanα的值为()A．－1B．1C.3D．－32．B由已知得12cosα－32sinα＝12sinα－32cosα，整理得，12＋32sinα＝12＋32cosα，即sinα＝cosα，故tanα＝1.3．(2016·山东潍坊质检，5)若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α＝()A．－79B.79C．－29D.2993．A由sinπ6－α＝13得cosπ3＋α＝13，于是cos2π3＋2α＝cos2π3＋α＝2cos2π3＋α－1＝－79.4．(2016·贵州贵阳调研，6)已知sinπ3＋α＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C.45D．－454．Dsinπ3＋α＋sinα＝435⇒sinπ3cosα＋cosπ3sinα＋sinα＝435⇒32sinα＋32cosα＝435⇒32sinα＋12cosα＝45，故sinα＋7π6＝sinαcos7π6＋cosαsin7π6＝－32sinα＋12cosα＝－45.5．(2016·浙江杭州模拟，10)若3sinx－3cosx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，0)，则φ＝________.5．【解析】因为3sinx－3cosx＝23sinx·32－cosx·12＝23sinx－π6，所以φ＝－π6.【答案】－π66．(2016·河南郑州一模，13)若tan20°＋msin20°＝3，则m的值为__________．6．【解析】由于tan20°＋msin20°＝3，可得m＝3－tan20°sin20°10＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝232cos20°－12sin20°12sin40°＝4sin（60°－20°）sin40°＝4.【答案】47．(2016·重庆巴蜀中学模拟，13)已知sinαcosα1－cos2α＝12，tan(α－β)＝12，则tanβ＝________.7．【解析】由已知得sinαcosα1－（1－2sin2α）＝12，即sinαcosα2sin2α＝12，于是sinα＝