因式分解的16种方法

FpgFpg因式分解の16種方法因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。注意三原則1分解要徹底2最後結果只有小括弧3最後結果中多項式首項係數為正（例如：1332xxxx）分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握：①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示；③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數；④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。基本方法⑴提公因式法各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式並確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母；②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式；③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把22a+21變成2(2a+41)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：2a2b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：2a±2ab＋2b＝2baFpgFpg注意：能運用完全平方公式分解因式の多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)の平方和の形式，另一項是這兩個數(或式)の積の2倍。立方和公式：33ba=(a+b)(2a-ab+2b)；立方差公式：33ba=(a--b)(2a+ab+2b)；完全立方公式：3a±32ab＋3a2b±3b=(a±b)2．公式：3a+3b+3c-3abc=(a+b+c)(2a+2b+2c-ab-bc-ca)例如：2a+4ab+42b=(a+2b)2。⑶分組分解法分組分解是解方程の一種簡潔の方法，我們來學習這個知識。能分組分解の方程有四項或大於四項，一般の分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。2.x3-2x+x-1解法：=(x3-2x)+(x-1)=2x(x-1)+(x-1)=(x-1)(2x+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然後相合輕鬆解決。3.2x-x-y2-y解法：=(2x-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。⑷十字相乘法這種方法有兩種情況。①2x+(p+q)x+pq型の式子の因式分解這類二次三項式の特點是：二次項の係數是1；常數項是兩個數の積；一次項係數是常數項の兩個因數の和。因此，可以直接將某些二次項の係數是1の二次三項式因式分解：2x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．②k2x+mx+n型の式子の因式分解如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．圖示如下：ad例如：因為1-3××cd72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以72x-19x-6=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中⑸裂項法這種方法指把多項式の某一項拆開或填補上互為相反數の兩項（或幾項），使原式適合於提公因FpgFpg式法、運用公式法或分組分解法進行分解。這鐘方法の實質是分組分解法。要注意，必須在與原多項式相等の原則下進行變形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法對於某些不能利用公式法の多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法の一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等の原則下進行變形。例如：2x+3x-40=2x+3x+2.25-42.25=225.65.1x=(x+8)(x-5)．⑺應用因式定理對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=2x+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是2x+5x+6の一個因式。(事實上，2x+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、對於係數全部是整數の多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數；2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數⑻換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中の相同の部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元後勿忘還元.例如在分解(2x+x+1)(2x+x+2)-12時，可以令y=2x+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(2x+x+5)(2x+x-2)=(2x+x+5)(x+2)(x-1)．⑼求根法令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4+7x^3-2x2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程の根為0.5，-3，-2，1．所以2x^4+7x^3-22x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．⑽圖象法令y=f(x)，做出函數y=f(x)の圖象，找到函數圖像與X軸の交點x1,x2,x3,……xn，則多項式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．與方法⑼相比，能避開解方程の繁瑣，但是不夠準確。例如在分解x^3+22x-5x-6時，可以令y=x^3;+22x-5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2則x^3+22x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．⑾主元法先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。⑿特殊值法FpgFpg將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當の組合，並將組合後の每一個因數寫成2或10の和與差の形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例如在分解x^3+92x+23x+15時，令x=2，則x^3+92x+23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個質因數の積，即105=3×5×7．注意到多項式中最高項の係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時の值，則x^3+92x+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後の確如此。⒀待定係數法首先判斷出分解因式の形式，然後設出相應整式の字母係數，求出字母係數，從而把多項式因式分解。例如在分解x^4-x^3-52x-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。於是設x^4-x^3-52x-6x-4=(2x+ax+b)(2x+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)2x+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．則x^4-x^3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．⒁雙十字相乘法雙十字相乘法屬於因式分解の一類，類似於十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始の式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y為未知數，其餘都是常數用一道例題來說明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。解：原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．雙十字相乘法其步驟為：①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；②先依一個字母（如y）の一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；③再按另一個字母（如x）の一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。多項式因式分解の一般步驟①如果多項式の各項有公因式，那麼先提公因式；②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合FpgFpg適。”幾道例題1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補項）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．2．求證：對於任何實數x,y，下式の值都不會為33：543223451241553yxyyxyxyxx解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x2y2+4y^4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數の積，所以原命題成立。3.．△ABCの三邊a、b、c有如下關係式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。分析：此題實質上是對關係式の等號左邊の多項式進行因式分解。證明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a