直线与平面垂直的性质

1.掌握直线与平面垂直的性质定理；（重点）2.能运用性质定理解决一些简单问题；（难点）3.了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互联系。2.3.3直线与平面垂直的性质各树均与地面垂直，各树所在的直线有何位置关系？两桥柱与水面垂直，两桥柱所在的直线有何位置关系？垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：//abab，作用：判断线线平行ab线面垂直线线平行线面垂直的性质定理平行于同一直线的两直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行空间中的平行ab[一点通]1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.2．证明线线平行的方法(1)a∥c，b∥c⇒a∥b.(2)a∥α，aβ，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.如图，已知则与的位置如何？.bmn//,aba，b线面垂直线线平行Oab交换“平行”与“垂直”⊥∥abαl//abab，abab，设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱.D1C1B1A1DCBA例1如图已知α∩β=l，CA⊥α于点A，CB⊥β于点B，求证：a∥l.,,aaABABCαβla分析：,.lABCaABC平面平面,..,.,.,,,CAlCAlCBlCACBClABCCAaCAaaABABACAaABClABCalal同理可得面又面又面证明：ABCαβla∥[例2]如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.[精解详析]连接DE.∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC，又AE⊥BC.∴BC⊥平面ADE.∵AF＝AG，D为FG的中点，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG，AD∩ED＝D.∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，1.给出以下命题，其中错误的是()(A)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面(B)垂直于同一平面的两条直线互相平行(C)垂直于同一直线的两个平面互相平行(D)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面解：选A.A中的无数条直线可能互相平行，则这条直线与该平面也可能平行，故A不正确；B、C、D都正确，可以当作结论应用.2.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.()(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.()(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.()√√×3.已知直线和平面，且则与的位置关系是_________________.,abbb或∥ab,,abab4.设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？βlαabl⊥β5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有_______条()A．1B．2C．3D．无数条解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则l⊥C1D1，B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1.同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．答案：A2.转化思想：平行关系垂直关系1.直线和平面垂直的性质定理：一种证明直线和直线平行的方法；欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。若m,n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()①若m∥n,n⊥α,则m⊥α②若m⊥α,n⊥α,则m∥n③若m⊥α,n∥α,则m⊥n④若n⊥m,m∥α,则n⊥α(A)1(B)2(C)3(D)4解：选C.由线面垂直的性质易知，①②③正确，④不正确.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.PABCDMNE分析:(1)AE⊥CD,MN∥AE.(2)AE⊥PD,则MN⊥PD.不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博闻，不自满者受益。