有理数的乘方及混合运算(基础)知识讲解

有理数的乘方及混合运算（基础）撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：naaaan个.在na中，a叫做底数，n叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．【典型例题】类型一、有理数乘方1.把下列各式写成幂的形式：(1)22225555；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)xxxxxxyy．【答案与解析】(1)44222222555555；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；(3)62xxxxxxyyxy【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数乘方的性质】2．计算：（1）3(4)（2）34（3）4(3)（4）43（5）335（6）335（7）22×3（）（8）22×3【答案与解析】（1）3(4)(4)(4)(4)64；（2）3444464；（3）4(3)(3)(3)(3)(3)81；（4）43333381；（5）33533327555125；（6）3353332755；（7）3（2）22636；（8）22×32918【总结升华】()na与na不同，()()()nnaaaa个，而nnaaaa个表示a的n次幂的相反数．举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)225(4)(-1.5)2【答案】(1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；(2)23＝2×2×2=8；(3)2222455525(4)(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．网Z_X_X_K]举一反三：【变式】（南充）计算：(-1)2009的结果是()．A．-lB．1C．-2009D．2009【答案】A类型三、有理数的混合运算【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型例题1】4.计算：（1）211-1-0.5××2--33（2）341-1-×2--36（3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)【答案与解析】（1）法一：原式＝517(1)(7)(7)666；法二：原式=1117(11)(29)(7)2366（2）原式=1-1-×2--276=1-1-×296=35-6(3)原式=4111(+-)×(-24)-1-8384=-32-3+66-9=22(4)原式11-+|-8-3|-0.0010.04=-1000-25+11=-1014【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式1】计算：4211(10.5)[2(3)]3【答案】原式111151(29)1(7)17523666【变式2】计算：2421(2)(4)12【答案】原式11116(4)11612444【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849典型例题2（2）】5.20032004(2)(2)（）（A）2（B）4007(2)（C）20032（D）20032【答案】C【解析】逆用分配律可得：20032004200320032003(2)(2)(2)[1(2)](2)2，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.举一反三：【变式】计算：7734()()43【答案】7773434()()[()()]14343类型四、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【答案】8;32;2n;6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122；第2次：224；第3次：328；…；第n次：2n.第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n次捏合抻拉得到2n；因为6264，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】(2009·肇庆)已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6