偏微分方程分类

1目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程的共性与差异.一、二阶线性偏微分方程的分类一、二阶线性偏微分方程的分类二、两个自变量的二阶方程的化简二、两个自变量的二阶方程的化简三、两个自变量二阶常系数方程三、两个自变量二阶常系数方程设为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=(),xy其中是关于在区域Ω上的实值函数，且连续可微。11122212,,,,,,aaabbcf,xy12211220,aaaΔ≡−若在区域Ω上某点()00,xy则称111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=在点为双曲型的。()00,xy12211220,aaaΔ≡−=若在区域Ω上某点()00,xy则称111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=在点为抛物型的。()00,xy12211220,aaaΔ≡−若在区域Ω上某点()00,xy则称111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=在点为椭圆型的。()00,xy0Δ时，方程称为双曲型;0Δ=时，方程称为抛物型;0Δ时，方程称为椭圆型;作变量变换在假设变换是二次连续可微的,且函数行列式(,)xyξξ=(,)xyηη=(1)(,)(,)xyxyDDxyξξξηηη=(1)00(,)xy不等于零.111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=111222122auauaububucufξξξηηηξη+++++=(,)xyξξ=(,)xyηη=由于(2)2222,,2,(),2,xxxyyyxxxxxxxxxxxyxyxyyxxyxyxyyyyyyyyyyyuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuξηξηξξξηηηξηξξξηηηξηξξξηηηξηξηξηξξηηξηξξξηξηηηξηξξηηξη⎧=+⎪=+⎪⎪=++++⎨⎪=+++++⎪⎪=++++⎩22111112221211122222221112222,(),2.xxyyxxxyyxyyxxyyaaaaaaaaaaaaξξξξξηξηξηξηηηηη⎧=++⎪⎪=+++⎨⎪=++⎪⎩故方程(2)中的为111222,,aaa设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为最简形式.的一般积分(积分曲线或者通解).是方程的一个特解．则引理1如果是方程2211122220xxyyaaaωωωω++=(,)xyωϕ=(,)xycϕ=dddd2211122220ayaxyax−+=(a).xydydxωω=−由隐函数由隐函数确定了函数确定了函数且且证明：证明：(,)xycϕ=()yyx=()dddd22111222111222221112222222()0()xxyyxxyyyyyaaaaaaxxaaaωωωωωωωωω⎛⎞⎛⎞−+=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠++==因此因此所以所以dddd2211122220ayaxyax−+=的一般积分.引理2如果是方程2211122220adyadxdyadx−+=(,)xycϕ=则满足方程(,)xyωϕ=2211122220xxyyaaaωωωω++=.xydydxωω=−由隐函数由隐函数确定的函数确定的函数证明：证明：(,)xycϕ=()yyx=是是2211122220adyadxdyadx−+=的一般积分.的一般积分.(,)xyωϕ=对于对于我们可得我们可得()()()()2ddddddddd221112222211122222111222221112222()2()2()2()0xxyyxxyyyyyaaaaaayyaaaxxayayxaxxωωωωωωωωωωω++⎛⎞⎛⎞⎜⎟=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−+=关于的一阶偏微分方程的求解问题.2211122220xxyyaaaωωωω++=转化为求常微分方程(,)=xyωϕ2211122220adyadxdyadx−+=在OXY平面上的积分曲线问题.方程(的积分曲线)叫做方程的特征方程(特征线).2211122220ddddayaxyax−+=111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=2211122220ddddayaxyax−+=分解方程得21212112211ddaaaayxa+−=21212112211ddaaaayxa−−=(3)(4)双曲型偏微分方程的化简12211220,aaaΔ≡−方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为两族不同的实曲线,依次表示为11(,)xycϕ=及22(,)xycϕ=令1(,),xyξϕ=2(,)xyηϕ=则11220,0aa==(5)120.a≠1xϕ122,,,yxyϕϕϕ假设及不同时为零,则变换(5)是可逆的.且其中12121().2fbubucuaξηΦ=−−−方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式(,,,,),uuuuξηξηΦξη=(6)在方程(6)中再作自变量变换1(),2stξ=+1(),2stη=−方程可以化为另一种标准形式1(,,,,).ssttstuustuuuΦ−=1222211220,0,0,aaaxyxyΔ≡−=≠≠将方程化为标准形式.220xxyyyuxu−=当0,0xy≠≠时,方程为双曲型的,其特征方程为2220,ddyyxx⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠从而有,ddyxxy=,ddyxxy=−积分得两族积分曲线22111,22yxc−=22211,22yxc+=作变换2211,22yxξ=−2211,22yxη=+代入方程化简得2222.2()2()uuuξηξηηξξηξη=−−−抛物型偏微分方程的化简12211220,aaaΔ≡−=方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一个一般积分1(,)xycϕ=令1(,),xyξϕ=2(,)xyηϕ=又11120,0aa==22()一般选取使得和是函数无关的1ϕϕϕ()()20.111122211221122()xxxyyxyyxyxyaaaaaaaaξηξηξηξηξξηη=+++=±±=12211220,aaaΔ≡−=121122,aaa=±这是因为这是因为所以所以则由则由可得可得()20221111122211222，xxyyxyaaaaaaξξξξξξ=++=±=得抛物型方程的标准形式(,,,,),uuuuηηξηΦξη=其中12221().fbubucuaξηΦ=−−−122222211220,aaaxyxyΔ≡−=−=将方程化为2220xxxyyyxuxyuyu++=方程为抛物型的,其特征方程为,ddyyxx=标准形式.积分得,ycx=作变换,yxξ=,xη=代入方程化简得标准方程0(0).uxηη=≠椭圆型偏微分方程的化简12211220,aaaΔ≡−方程(3)和(4)的右端是复数,故不存在实的特征曲线,方程(a)的一般积分为复数.设22(,)(,)(,)ixyxyxyϕϕϕ=+是方程(3)的一般积分,且,xyϕϕ不同时为零.1Re(,)(,),xyxyξϕϕ==2Im(,)(,).xyxyηϕϕ==作变换由于iξη+满足方程2211122220xxyyaaaωωωω++=代入方程得33()()222211122211122222xxyyxxyyaaaaaaξξξξηηηη++−++()11122220xxxyyxyyiaaaξηξηξηξη⎡⎤++++=⎣⎦222211122211122222,xxyyxxyyaaaaaaξξξξηηηη++=++111222()0.xxxyyxyyaaaξξξηξηξη+++=分离实部和虚部可得方程111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=化为标准形式(,,,,),uuuuuξξηηξηΦξη+=其中12221().fbubucuaξηΦ=−−−.yΔ≡−将方程化为标准形式.0xxyyyuu+=220,ddyyx+=当0y时,方程为椭圆型的;时,方程为双曲型的;当0y当0y=时,方程为抛物型的.其特征方程为在椭圆型区域0y内,化为0,didxyy±=因此得322,3ixyc±=作变换,xξ=322,3yη=原方程化为1.3-uuuξξηηηη+=作变换在双曲型区域0y内,特征方程为0,ddxyy±−=因此得322(),3xyc±−=322(),3xyξ=−−322(),3xyη=+−原方程化为1().6()uuuξηξηξη=−−如果方程的符号,通过变换,方程可以化为以下三种形式:的系数全部是常系数,按照111222122xxxyyyxyauauaububucuf+++++=1221122aaaΔ≡−双曲型:1111,uaubucufξηξη=+++或2222;uuaubucufξξηηξη−=+++抛物型:3333;uaubucufηηξη=+++椭圆型:444.uuaubucufξξηηξη+=+++三类方程中的系数均为常数.弦振动方程20.ttxxuau−=特征方程为2220,ddxat−=故特征直线为1,xatc+=2,xatc−=作变换,xatξ=+,xatη=−弦振动方程化为0.uξη=判断方程的类型并化为标准形式的步骤:1.按判断方程的类型.1221122aaaΔ≡−2.解出特征方程式,根据方程类型,选择适当的变换式,求出变换后的各项系数,把方程化为标准类型.