2.2.3平面与平面平行的性质随堂优化训练课件

2．2.3平面与平面平行的性质【学习目标】1．掌握平面与平面平行的性质定理及其应用．2．提高学生的空间想象能力、思维能力．面面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面________，那么它们的交线__________符号语言图形语言作用线面平行⇒__________平面与平面平行的性质相交平行线线平行γ∩α＝aγ∩β＝b练习：下列命题中，真命题的个数有()C①如果两个平面平行，那么分别在两个平面内存在直线a，b，使a∥b；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；③如果两个平面平行，那么第一个平面内的直线与第二个平面内的直线平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②真，③假．【问题探究】1．如果两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线与另外一个平面平行吗？答案：平行．2．经过平面外一点，可以作几个平面和已知平面平行？答案：一个．题型1面面平行的性质定理的应用【例1】如图2-2-11，已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD.若E，F分别是PA，AD的中点，求证：平面BEF∥平面PCD.图2-2-11证明：连接BF，EF.如图D24.图D24因为AD＝2，BC＝1，AD∥BC，所以BC∥FD，且BC＝FD.所以四边形BCDF是平行四边形，所以BF∥CD.因为BF平面PCD，所以BF∥平面PCD.因为E，F分别是PA，AD的中点，所以EF∥PD.因为EF平面PCD，所以EF∥平面PCD.因为EF∩BF＝F，所以平面BEF∥平面PCD.要证明面面平行，先证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【变式与拓展】1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，下面给出三个命题：其中正确的命题的序号是________．①③①a∥cb∥c⇒a∥b；②a∥γb∥γ⇒a∥b；③α∥γβ∥γ⇒α∥β.题型2面面平行的判定定理与性质定理的综合应用图2-2-12【例2】如图2­2­12，平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB＝CFFD，求证：EF∥平面β.思维突破：解答本题应先对AB，CD是否共面进行讨论，当AB，CD不共面时需构造线段进行转化．证明：当直线AB和CD在同一平面内时，由α∥β可知：AC∥BD，ABDC是梯形或平行四边形．又BD⊂β，所以EF∥平面β.由AEEB＝CFFD，得EF∥BD.当直线AB和CD异面时，作AH∥CD交β于点H，则四边形AHDC是平行四边形，作FG∥DH交AH于点G，连接EG，所以EG∥BH.又BH⊂β，所以EG∥β.又FG∥DH，DH⊂β，所以FG∥β.所以平面EFG∥β，而EF⊂平面EFG，所以EF∥平面β.于是CFFD＝AGGH.因为AEEB＝CFFD，所以AEEB＝AGGH.将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等．此题通过巧作辅助线，得到所作平面与底面平行，由性质α∥β，l⊂α⇒l∥β易得线面平行，进而转化为面面平行，突出了平行问题中的转化思想．【变式与拓展】2．如图2-2-13，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.图2-2-13证明：如图D25，作EP⊥BB1于点P，连接PF.在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1，图D25又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且BEA1B＝BPBB1.又∵BE＝CF，A1B＝CB1.∴PF∥BC，则PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF⊂平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.∴CFCB1＝BPBB1.题型3线面、面面平行的综合应用【例3】已知：有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE.证法一：如图2­2­14(1)，连接AQ并延长交BC于点G，连接EG，则AQQG＝DQQB.∵AP＝DQ,PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG.又PQ平面BCE，EG⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.图2-2-14证法二：如图2-2-14(2)，分别过点P，Q作PK∥AB，QH∥AB，则PK∥QH.∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，∴PK＝QH.∴PQHK是平行四边形．∴PQ∥KH.又PQ平面BCE，KH⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.连接KH，则PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.证法三：如图2-2-14(3)，过点P作PO∥EB，连接OQ，则OQ∥AD∥BC，平面POQ∥平面BEC.又PQ平面BCE，故PQ∥平面BEC.证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，证法一是作三角形得到的；证法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH；证法三利用了面面平行的性质定理．EPPA＝BOOAEPPA＝BQQD⇒BOOA＝BQQD，【变式与拓展】3．如图2-2-15，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点，求证：AF∥平面BDE.图2-2-15证法一：如图D26，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，图D26又AF平面BDE，EG⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE.证法二：取A1B1中点G，连接AG，FG，证明平面AFG∥平面BDE即可．【例4】下列命题正确的是()A．夹在两平行平面间的相等线段必平行B．夹在两平行平面间的平行线段相等C．第三平面与两平面分别相交，若两条交线平行，则这两平面平行D．平行于同一直线的两平面平行易错分析：应注意面面平行性质定理的应用条件．答案：B[方法·规律·小结]1．面面平行的判定定理既是面面平行的性质定理，也是线面平行的判定定理，因此证明线面平行，也可借助于面面平行．2．利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题．(1)两个平面平行，可得其中一平面内的任一直线平行于另一个平面．此性质定理可简记为：面面平行，则线面平行．(2)两个平面平行，可得两个平面与第三个平面相交，它们的交线平行，而不是两个平面内的任意两条直线平行，此性质定理可简记为：面面平行，则线线平行．