证明哥德巴赫猜想的一个新思路

1证明哥德巴赫猜想的一个新思路——浅论统计分析法在素数研究的应用王华（Email：[e-mail]）成都市逸泰科技有限公司（四川省成都市，610036）摘要：本文提出了“素数是一类特殊随机数”的理念。基于这一理念，通过发挥计算机高速运算能力，运用统计分析的技术，提供了一个用于估算大偶数E所对应哥德巴赫数对的个数C（E）的公式：E0.609C(E)E0.722。从而，间接地证明了哥德巴赫猜想的正确性。本文还提出了“统计分析是未来素数研究的一个重要方法”的主张。Abstract：Thispaperputsforwardtheconceptofprimenumberisakindofspecialrandomnumber.Basedonthisidea,utilizinghigh-speedcomputer’s,usingstatisticalanalysistechnology,thispaperprovidesaformulausedtoestimatethequantityofGoldbach’sPrime-pairsforalargeeven-number（assumptedasE）.AssumptingthisquantityasC(E),theformulafollowsas:E0.609C(E)E0.722.Then,thevalidityofGoldbachconjectureisindirectlyproved.ThispaperalsoputsforwardtheStatisticalanalysisshouldbeanimportantmethodintheprimeresearchinthefutureproposal.关键词：哥德巴赫数对、素数、稀疏度、包络线、随机性。Keywords：Goldbachprime-pair,primenumber,sparsedegree,envelope,randomness.中图分类号：O156.1一、引言关于德国数学家哥德巴赫二百多年前提出的这个猜想，陈景润1965年5月发表了他的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》，其“1+2”结论在国际上被命名为“陈氏定理”。至今，该猜想似乎一直沉睡着，此间虽有不少人宣称自己成功证明了该猜想，但最后都被数学界贴上了“伪证”的标签。尽管未见实质性的突破，但“彻底证明该猜想，需要转变思路”已成为学界许多学者的共识。本文或许是接近新思路的一个尝试。二、三个前提性假设和一条判别准则大家知道，相对论是基于爱因斯坦所提出的两个前提性假设的。为了证明哥德巴赫猜想，人们可能也不得不走类似的路。在证明哥德巴赫猜想之前，先提出三个前提性假设：假设一：素数是性质相同的一类随机数，不存在描述素数的通用解析式，这正如不存在描述一个空气分子运动轨迹的通用解析式那样。假设二：虽然素数是随机的，但与素数相关的诸多统计参数却具有某种确定性，这正如空气的统计参数，如压力、气温，是确定的那样。假设三：把所有素数看作一个空间，这个空间具有诸多非随机性的统计2参数，这些统计参数看通过任意一个具有充分统计学效应的素数区间反映出来。我们认可判定统计参数确定性的一条准则：如与一个统计参数相关的曲线是平滑的，则这个统计参数必有某种确定性。基于以上假设，我们把统计分析法作为分析素数规律的核心方法。作为一类随机数，素数的共性可通过统计分析法获得，即可从样本信息出发来分析、推测、归纳、总结素数的总体特征和规律。素数空间与哥德巴赫猜想相关的统计规律，正是我们下面要深入探讨的内容。三、几点预先说明为了后文论述方便和证明的需要，我们先作一些必要的预先说明。一、引出几个概念：1.为了简洁，文中的E均代表一个偶数。E为even-number的首字母。2.哥德巴赫数对：若a、b为质数，且E=a+b，则称a、b为偶数E的一个哥德巴赫数对。3.模糊平滑：实验室中，人们常用曲线拟合法处理离散而随机波动的有限对测试数据（xi,yi），通过一条平滑曲线来反映这些离散点的一般趋势。如果随机数据，其数据是在一条平滑曲线附近波动地分布的，则称这些随机波动的数据是模糊平滑的，这条平滑曲线是其变化规律的近似反映。模糊平滑有两层含义：3.1.设p、q为某个空间一个微小区域内性质完全相同的两个变量，设h(X)是一个以该空间为定义域且具有随机波动性的函数。若h(X)完全不会涉及除法运算和分母为零的情形，则函数h(X)在X的附近的波动是有限的或微小的，即h(X)是模糊稳定的。3.2.可通过该平滑曲线来估计介于测试数据之间的其他数据。4.模糊单调递增、模糊单调递减：若1中所述的平滑曲线是单调递增的，则称这些随机波动的数据是模糊单调递增的；反之，称这些随机波动的数据是模糊单调递减的。5.素数稀疏度：设p1、p2为前后相邻的两个素数。把素数按由小到大的顺序排列，则2为第0个素数，3为第1个素数，p1为第k-1个素数，p2为第k个素数，则d(k)=m-n。称d(k)为素数m的稀疏度，简称稀疏度。素数2，其前方没有素数，其稀疏度定为1。称m为一个稀疏度为d的素数。稀疏度是一个反映稀疏程度的概念，其倒数则为素数密度。有的书中称素数稀疏度为素数间隔。素数稀疏度这一提法能使人直接联想到素数的分布特性，比“素数间隔”提法似乎要好些。6.下观素数、下观素数量：设小于E的素数共有A个，如一个素数p是这A个素数中的一员，则称p为E的一个下观素数。A则称为E的下观素数量，简称下观量。这里，A为amount的首字母；“下观”意为“站在偶数E的位置往下观”。7.整数的素数稀疏度及其平均素数稀疏度：设a、b为两个相邻素数，c、e为整数，且ab，e=b-c，a＜c≤b，则整数c的素数稀疏度为3e。设整数c的下观素数量为N，则称c/A为整数c的平均素数稀疏度，简称c的平均稀疏度。8.整数的最大下观稀疏度：在整数I的所有下观素数中相邻两个素数之差的最大值，即为整数I的最大下观稀疏度。9.包络线：设有函数f(X)，以f(X)为纵坐标、X为横坐标作图，把f(X)的极大值点、极小值点分别做曲线拟合处理分别得到一次上包络线、一次下包络线。对f(X)的一次上包络线、一次下包络线重复步骤４的操作得到二次上包络线、二次下包络线；依此类推，可得n次上包络线、n次下包络线。当n次包络线与n+1次包络线重合时，则称n次包络线为终极包络线。10.把所有素数作为一个集合，称这个集合为素数空间。二、定义一个函数：哥德巴赫数对的函数C(E)：设a为质数，且aE，b为正整数。令E=a+b，这样的表达形式共有M个情形，其中b为素数的情形有N种，则C(E)=N，即偶数E有C(E)个哥德巴赫数对。C为couple的首字母。四、素数的随机性素数的随机性的主要表现是：素数在素数空间中的分布位置和分布密度是随机的。素数稀疏度是用统计分析法研究素数的最主要参数，故而在此专门讨论素数稀疏度的各种特征。下面是借助电脑运算得到的一组曲线图，能较充分地反映D—s曲线的特征。图中的每根曲线都是把各离散点按横坐标由小到大地依次连接而成的折线，文末附表1的数据能更详细地反映素数稀疏度特征附表1。附表1中的空格均视为0，即其后更大的稀疏度是不存在的。在此，对这组图做一些说明：1.素数分布函数G(d)：设偶数E的下观素数中有n个稀疏度为d的素数，A为E的下观素数量，则G(d)=n/A，即G(d)为整数区间［3，E］内不同稀疏度的素数所占比重。2.图1.1—图1.7是整数区间［3，E］内G(d)的变化图。图1.1反映的是整数区间［3，100］内不同稀疏度的素数所占比重，以此类推可知其他图的含义。3.若E恒定，以D为纵坐标、s为横坐标作D—s拟合曲线，则Q—s拟合曲线整体呈“人”字形分布，其中存在一个最大值。4.随着E的增大，D—s曲线的最大值点沿横坐标往后移动。在E增大的过程中，D—s曲线最大值点往后移动的速度开始较快，而在E后，变得极其缓慢。在E从1000增大至2000000时，D—s曲线最大值点一直保持在s=6，且E增大过程中，D（6）的下降也是先快后慢，最后变得极其缓慢。4图1.1图1.25图1.3图1.4图1.56图1.6图1.7设Dmax(E)为整数区间［2，E］内的最大稀疏度，）（ED为整数区间［2，E］内的平均稀疏度，）（ED=E/A。图2.1为）（ED的变化图。图2.2—图2.6为Dmax(E)的变化图。1.图2.1表明，）（ED是平滑而单调地递增的，且其递增速度越来越慢。根据统计参数的确定性判定准则，）（ED是一个具有确定性的统计参数。）（ED的解析表达式是存在的，但其与哥德巴赫猜想的直接关系不大，本文不作深究。2.偶数E的绝大部分下观素数分布在）（ED附近，Dmax(E)所对应的E值小于）（ED所对应的E值。3.Dmax的出现位置是跳跃而随机的，即若设是当前Dmax，下一个出现的Dmax不一定是D1+1，而是D1+n（n为整数，且n＞1）；Dmax保持段的长度也是随机的。4.Dmax是随机的，Dmax的增长也是随机的；这是素数随机性的一个表现。但从Dmax的总体增长趋势看，Dmax远远小于E，Dmax的增长速度越来越慢，且其增长速度也远远小于E。例如，偶数E从40万增长为200万时，Dmax从85增大为130，只增长了45。7平均稀疏度）（ED整数区间［2，E］中的偶数E图2.1图2.2图2.38图2.4图2.5图2.69五、素数的确定性与哥德巴赫数对的数量设偶数E有C(E)个哥德巴赫数对。现在通过实际运算和统计来得到f(E)与E的关系。图2.1图2.210图2.3图2.411图2.5图2.612图2.7图2.8图2.913图3.0图2.1—图3.0中，纵坐标为偶数所对应的哥德巴赫数对的数量值，横坐标为偶数值。由图2.1—图3.0可看出，随着E增大，C(E)的终极下包络线是十分平滑的。根据前述准则，必存在C(E)的终极下包络线的解析表达式。实际运算表明，在大偶数区，lg（C(E)）／lg（E）总是在[0.6，0.8]区间内波动；同时，平滑地延长下包络线，它可近似为一条穿过原点的曲线。设g(x)为C(E)的终极下包络线的解析表达式（x为实数），令)1(bacgxexx）（1.根据假设，取整数区间[1000000，4000000]的终极下包络线作为样本终极下包络线，取此下包络线上的点3个坐标点：（3963，1001998）、（7164，2003974）、（12961，4004610）。建立方程组：1296140046107164200397439631001998)1(ba)1(ba)1(bac4004610c2003974c1001998eee解该方程组得到下包络线的近似表达式：)1(06.0609.011740xex。2.同理，取整数区间[1000000，4000000]终极上包络线上的点3个坐标点：（17075，1021016）、（30736，2042036）、（55717，4084076）。建立方程组:14557174084076307362042036170751021016)1(ba)1(ba)1(bac4084076c2042036c1021016eee并解得上包络线的近似表达式：)1(0289.069287.07109217.4xex相应地，可推知，在C(E)下包络线上，存在lgElgClimEE）（；lgElgClimEE）（≈0.669。同样地，在C(E)上包络线上，也存在lgElgClimEE）（；lgElgClimEE）（≈0.722。综上所述，可得出这样一个估算大偶数E哥德巴赫数对个数C(E)范围的解析式：E0.609C(E)E0.722。这个解析式是基于个人电脑的运算能力得出的。基于这一解析式，可得出一系列预测结果。如这些结果经大型计算机检验是正确的，就等于宣布这个解析式是可信可用的。众所