高考数学填空题巧思妙填一点通

高考数学填空题巧思妙填一点通填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、特值猜想法、数形互助法等等.在解答问题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求，在草纸上少写一点，在头脑里多思考一点，这可能会加快解的速度.下面将按知识分类加以例说.1.函数、不等式与导数例1（2006年上海春季高考题）函数]1,0[,53)(xxxf的反函数)(1xf．点通：由35,[0,1]yxx，得5,8y．解出15,33xy，从而115()33fxx，5,8.x从而应填8,5),5(31xx.说明：原函数的值域是反函数的定义域．求反函数的程序为：先求原函数的值域，再反解．例2（2006年上海春季高考题）不等式0121xx的解集是．点通：不等式0121xx等价于1210xx，也就是1102xx，所以112x，从而应填11,2xxxR．说明：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：00aabb．例3（2006年上海春季高考题）已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于BA、两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．点通：设直线l为10,0xyabab，则有关系211ab．对211ab应用２元均值不等式，得21212212ababab，即8ab．于是，三角形OAB面积为142Sab．从而应填４．说明：也可由211ab，得2228abababab．特别注意，不等式中的等号是可以成立的．例4（2005年江苏高考试题）已知a,b为常数，若22()43,()1024,fxxxfaxbxx则5ab.点通：由f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,得（ax+b）2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24,比较系数，得221,2410,4324.aababb解得1,7ab，或1,3ab，所以52ab．说明：本题考查了复合函数解析式的运用，待定系数法及其相关的计算．例5若函数3()3fxxxa在区间[0,3]上的最大值和最小值之差为_______．点通：显然有2()33fxx．易知当1x时，函数()fx取得最小值2a；当3x时，函数()fx取最大值18a，后者与前者的差为20．说明：三次函数是高考的一个热门话题．连续函数在闭区间上必有最大值和最小值．2.三角、向量与复数例６已知4sin5，且sincos1，则sin2________.点通：由4sin5可以读出3cos5．而有条件sincos1，所以知道3cos5，24sin22sincos25.说明：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如：当5sin13时，12cos13．看看上面的＂读出＂，“取舍”，“用公式”，想想解题思维的流程，会有什么启发？例7复数2lg(2)(331)()xxzxixR在复平面内对应的点位于第______象限．点通：显然有2lg(3)lg30,x而由222222xxxx，知道(221)0xx．说明：在解答当中，222xx你能直接看出来吗？复数在高考中是一个淡化的知识点，一般命制一道选择题或填空题．例８已知22，且sincos,a其中0,1a，则关于tan的值，在以下四个数值：①3②13③13④15其中，a的值可以是________．点通：由题意知02，从而tan0.此时有cossinsin0cossin,a即有1tan0,于是，排除①和②，应该填③，④．说明：应用范围估计，有时可以巧妙的解答一些选择或填空题．试问：你有这样的解题经验吗？知识积累（量的增加）的过程也就是能力逐渐提升（质的变化）的过程．例９如图，设点O在ABC内部，且有02OCOBOA，则ABC的面积与AOC的面积的比为________．点通：由条件得知1()2OBOAOC，所以点O是AC边上的中线的中点，于是，则ABC的面积与AOC的面积之比为2．说明：我们知道，等底等高的三角形，其面积相等；共底三角形的面积之比，等于该底上对应高的比．3.数列、排列组合、二项式定理与概率统计例10已知na是公差不为零的等差数列，如果nS是na的前n项和，那么._____limnnnSna点通：特别取nan，有21nnSn，于是有.211212limlimlim2nnnnSnannnnn故应填2.说明：有时，选择特殊的数值、函数、数列、图形等，可快速解答某写填空题，这点应引起读者的重视．例11（2005年福建高考题）若常数b满足|b|1，则nnnbbbb121lim.点通：一般解答：nnnbbbb121lim11111limlimlim(1)1nnnnnnnnnbbbbbbbbb=11b．OCBA简便解答：2211111limlimnnnnnbbbbbbb11111bbb．说明：比较两个解答，你能想到什么？看来，活学活用是应时时提倡的．例12（2005年辽宁高考试题）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）点通：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333A种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224A种，故有5761248种．说明：相邻用捆绑法，不相邻用插空法．例13二项展开式12nxx的各项系数的绝对值之和为７２９，则展开式中的常数项是．点通：二项展开式12nxx的各项系数的绝对值之和就是12nxx展开式的各项系数之和，取1x，得213nn，则有637293n，所以6n．于是612xx的通项为66621661(2)()2(1)rrrrrrrrTCxCxx．令620r，得3r．所以常数项为33362(1)160C．说明：只要细心计算，就不难得出正确的答案．当中的转化你能想的到吗？请多思考，多体会．例14如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________．点通：因为正方形的面积是１６，内切圆的面积是4，所以豆子落入圆内的概率是4164．说明：概率是高中的新知识，学习时应当紧扣课本的概念，透彻地理解概念的本质，这样就能快速解答问题．4.立体几何例15三棱柱'''ABCABC的体积为１，P为侧棱1BBC'A'B'CABP上的一点，则四棱锥''PACCA的体积为____________．点通：设点P到面ABC，面'''ABC的距离分别为12,hh，则棱柱的高为12hhh，又记'''ABCABCSSS，则三棱柱的体积为1Vsh．而从三棱柱中取去四棱锥''PACCA的剩余体积为''''12121111()3333PABCPABCVVVshshshh，从而''/121.33PACCAVVV说明：立几试题的解答常用到几何体的割与补法，这种分与合思想需要我们反复的琢磨和体味．例16正三棱锥P－ABC的底面边长为1，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是．点通：由题意可知ABPC，因而四边形EFGH为矩形．设正三棱锥的侧棱4221,xxSxPA则，设P在平面上的射影为O，连AO，则中，在ABCRtAO,33AOPA，从而123,33Sx即．故应填3,12．说明：显然，点P到平面ABC的距离可以无限大，这时S也可以无限大．该问题可以在课本上找到它的影子，你知道吗？数学学习请别远离课本，因为有些考题的生长点就在课本上的．５．解析几何例17如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为512，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_____________．点通：猜想出“黄金双曲线”的离心率e等于215．事实上对直角ABF应用勾股定理，得222AFBFAB，即有22222acbcab，注意到222,cbcaea，变形得210ee，从而51.2e说明：类比推理、类比发现是今年高考的一个新的亮点．这种问题的情景比较清新，结构比较巧妙，变化比较合理，是用＂活题＂考能力的典范．例18（2005年重庆高考试题）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是xyOFBAPABCEFGH（填写所有正确选项的序号）．①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形点通：①菱形不可能．如果这个四边形是菱形，那么菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴，这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点)；④平行四边形也不可能．因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行．故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤．说明：针对②③⑤，你能构造出具体的图形吗？6．综合创新题例19有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3x，其运算为：,7,*,,2,,3x，若计算机进行运算：lg,*,,2,,xx，那么使此表达式有意义的x的范围为_____________．点通：计算机进行运算：lg,*,,2,,xx时，它表示的表达式是lg2xx，当其有意义时，得20xx，解得02xx或．说明：解答问题的关键是：仔细地阅读问题，深刻的理解题意，在此基础上，准确的写出所叙运算的表示式．例20某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为(结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．点通：由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝0.90，于是0.50μ0＝μ0(e－λ)t12＝(0.90)t，两边取常用对数，lg12＝t2lg0.90，解出t＝－2lg22lg3－1＝2×0.6021－2×0.4771＝13.1．说明：对一个等式的两边取对数，平方，取倒数，移项，等等细小的技巧我们可要熟滥于心呀．这种细节有时可能是解题思维受阻的关节所在．难怪说：成在细节，败也在细节．例21在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A，B，C，D猜测如下：A说：获奖的不是1号就是2号；A说：获奖的不可能是3号；C说：4号、5号、6号都不可能获奖；D说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果表明，四个人中恰好有一个人猜对，则猜对者一定是观众获特别奖的是号选手．点通：推理如下：因为只有一人猜对，而C与D互相否定，故C、D中一人猜对。假设D对，则推出B也对，与题设矛盾，故D猜错，所以猜对者一定是C；于是B一定猜错，故获奖者是3号选手（此时A错）．说明：逻辑推理问题是很有趣的，它以能力立意，着力考查思维的灵活性、方向性、选择