高考数学选择题例题与训练(等价转化法专题)

高考数学选择题例题与训练（等价转化法专题）解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。【例题】、一给定函数()yfx的图象在下列图中，并且对任意10,1a，由关系式1()nnafa得到的数列满足1()nnaanN，则该函数的图象是（）A、B、C、D、【解析】问题等价于对函数()yfx图象上任一点(,)xy都满足yx，只能选A。【练习1】、设cossint，且sin3+cos30，则t的取值范围是（）A、[-2，0）B、[2,2]C、（-1，0）2,1(]D、（-3，0）),3(（提示：因为sin3+cos3=（sin+cos）（sin2-sincos+cos2），而sin2-sincos+cos2＞0恒成立，故sin3+cos30t＜0,选A。另解：由sin3+cos30知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时cossint2，所以排除B、C、D，选A）【练习2】、12,FF是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12PFPF的最大值是（）A、4B、5C、1D、2（提示：设动点P的坐标是(2cos,sin)，由12,FF是椭圆的左、右焦点得1(3,0)F，2(3,0)F，则12PFPF|(2cos3,sin)(2cos3,sin)|22|4cos3sin|2|3cos2|2，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——21212||||42PFPFPFPFa）【练习3】、若log2log20ab，则（）。A、01abB、01baC、1abD、1ba（提示：利用换底公式等价转化。lg2lg2log2log200lglg0lglgabbaab∴01ba，选B）【练习4】、,,,,abcdR且dc，,abcdadbc，则（）A、dbacB、bcdaC、bdcaD、bdac（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，如图，用线段代表,,,,abcd立马知道选C。当然这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表,,,,abcd容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“,,,abcdR”收严一些变为“,,,abcdR”。【练习5】、已知0,若函数()sinsin22xxfx在,43上单调递增，则的取值范围是（）A、20,3B、30,2C、0,2D、2,（提示：化简得1()sin2fxx，∵sinx在,22上递增，∴2222xx，而()fx在,43上单调递增3,,043222，又0,∴选B）【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）A、36CB、26CC、39CD、2912C（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3堆即可，有26C种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）【练习7】、方程123412xxxx的正整数解的组数是（）A、24B、72C、144D、165（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，答案为311165C，选D）【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（）A、35B、56C、84D、120（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为3856C，选B）【练习9】、已知211lim31xaxbxx，则b=（）A、4B、-5C、-4D、5（提示：逆向思维，分母（1x）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有221(1)(1)(1)1axbxxaxaxax，∴必然有(1)ba，且2111limlim(1)1xxaxbxaxx，∴1134,aa∴5b，选B）【练习10】、异面直线,mn所成的角为60，过空间一点O的直线l与,mn所成的角等于60，1l2l则这样的直线有（）条A、1B、2C、3D、4（提示：把异面直线,mn平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，则问题等价于过点O有多少条直线与,mn所成的角等于60，如图，恰有3条，选C）【练习11】、不等式20axbxc的解集为12xx，那么不等式2(1)(1)2axbxcax的解集为（）A、03xxB、0,3xxorxC、21xxD、2,1xxorx（提示：把不等式2(1)(1)2axbxcax化为2(1)(1)0axbxc，其结构与原不等式20axbxc相同，则只须令112x，得03x，选A）