高考文科数学试卷中的数列题浅析

医疗设备维修高考文科数学试卷中的数列题浅析数列，在高中数学教学大纲中只有12课时，在考纲中也只是要求，理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题，等等．但是，在历年的高考中，都把数列当作重要的内容来考查，题目有一定的难度、深度和综合程度，在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用．纵观2008年全国各省的高考文科数学试卷，涉及数列的题目大都是“一小一大”，分值17分左右，约占试卷总分值的19，难度大都为中低档，但也有少数省份将数列题作为把关、压轴题，如安徽卷、上海卷的第21题，重庆卷的第22题等．下面，我们仅对其中的一些题目进行简要的分析．例1设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）略解：∵a2+a7=a1+a8=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．例2已知等比数列{}na满足122336aaaa，，则7a（）A．64B．81C．128D．243（全国Ⅰ卷第7题）答案：A．例3已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．186（北京卷第7题）略解：∵a5-a2=3d=9，∴d=3，b1=26a，b5=a10=30，nb的前5项和等于90，故答案是C．例4记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A．2B．3C．6D．7（错误!未找到引用源。第4题）略解：∵422412,3SSSdd,故选B.例5在数列{}na中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则ab．（安徽卷第15题）答案：－1．例6在数列{}na中，12a，11ln(1)nnaan，则na（）A．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn（江西卷第5题）答案：A．例7设数列na中，112,1nnaaan，则通项na___________．（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11nnaan中1,nnaa系数相同是找到方法的突破口．医疗设备维修略解：∵112,1nnaaan∴111nnaan，1221nnaan，2331nnaan，，3221aa，2111aa，1211a．将以上各式相加，得123211nannnn111122nnnnn，故应填(1)2nn+1．例8若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A．6B．7C．8D．9(重庆卷第10题)答案：B．使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+2na，求证：bn·bn+2＜b2n+1.（福建卷第20题）略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn•bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n＜0,∴bn·bn+2＜b21n．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：∵b2=1,bn·bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n0，∴bn-bn+2b2n+1.例10在数列na中，11a，122nnnaa．（Ⅰ）设12nnnab．证明：数列nb是等差数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS．（全国Ⅰ卷第19题）略解：（Ⅰ）1nnbb=1122nnnnaa=122nnnaa=22nn=1，则nb为等差数列，11b，nbn，12nnan．（Ⅱ）01211222(1)22nnnSnn，12121222(1)22nnnSnn．两式相减，得01121222221nnnnnSnn=(1)21nn．对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b3-b2=1等有限个的验证归纳得到nb为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．医疗设备维修、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．例11等差数列{}na的各项均为正数，13a，前n项和为nS，{}nb为等比数列,11b，且2264,bS33960bS．(Ⅰ)求na与nb；(Ⅱ)求和：12111nSSS．（江西卷第19题）略解：(Ⅰ)设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，依题意有22233(6)64,(93)960.SbdqSbdq解之，得2,8;dq或6,540.3dq(舍去，为什么？)故132(1)21,8nnnannb．（Ⅱ）35(21)(2)nSnnn，∴121111111132435(2)nSSSnn111111(123243511)2nn1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn．“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例12设数列na的前n项和为22nnnSa，（Ⅰ）求14,aa；（Ⅱ）证明：12nnaa是等比数列；（Ⅲ）求na的通项公式．（四川卷第21题）略解：（Ⅰ）∵1111,22aSaS，所以112,2aS．由22nnnaS知，11122nnnaS112nnnaS得，112nnnaS①∴222122226,8aSS，3332328216,24aSS，443240aS．（Ⅱ）由题设和①式知，11222nnnnnnaaSS122nn2n，∴12nnaa是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa112nn此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有nS医疗设备维修的递推公式的重要手段，使其转化为不含nS的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例13数列na满足,2,021aa222(1cos)4sin,1,2,3,,22nnnnaan（I）求43,aa，并求数列na的通项公式；（II）设1321kkSaaa，242kkTaaa，2(2kkkSWkT)N，求使1kW的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）略解：（I）22311(1cos)4sin44,22aaa22422(1cos)4sin24,aaa一般地,当21()nkkN=时，22212121(21)(21)[1cos]4sin4,22kkkkkaaa即21214.kkaa所以数列21ka是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).kak当2()nkkN=时，22222222(1cos)4sin2,22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kka故数列na的通项公式为22(1),21(),2,2().nnnnkkNankkN（II）由（I）知，1321kkSaaa=044(1)2(1),kkk242kkTaaa2122222,kk12(1).22kkkkSkkWT于是，10,W21,W33,2W43,2W55,4W61516W.下面证明:当6k时，1.kW事实上,当6k时，11(1)(1)(3)0,222kkkkkkkkkkkWW即1.kkWW又61,W所以当6k时，1.kW故满足1kW的所有k的值为3,4,5.例12、例13代表了另一种重要的题型，从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他一些性质．这些试题对恒等证明能力提出了很高的要求，要求考生首先明确变形目标，然后根据变形目标进行恒等变形．在变形过程中，不同的变形方法也可能简化原来的式子，也可能使其更加复杂，所以还存在变形路径的选择问题．从以上例子不难看出，在考查相关知识内容的基础上，高考对数列的考查把重点放在对数学思想和方法的考查，放在对思维能