断裂力学第四节-复变应力函数

回顾弹性力学基本问题（应力函数的复变函数表示）1.应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数求解，由克洛索夫-穆斯赫利什维利（Kolosoff-Muskhelishvili）发展的，使不少复杂的弹性力学平面问题的解法到了完美的境地。定义两个复数，用笛卡尔坐标x，y表示：将笛卡尔坐标x，y用复变变量作为自变量表示：和相加：——复变函数表示的调和方程将双调和方程转化成复数表示形式：将双调和方程分解为2个二阶方程：要了解复变函数，单连通区域，解析函数，共轭调和函数等的概念。令：，上式中的后两项也互为共轭：后两项为前两项的共轭函数，借助复数求实部的方法：令：，应力函数转化复变函数表示的形式为：或者：2.应力和位移的复变函数表示应力分量的复变函数表示形式：应变的复变函数表示形式：……(3)……(4)位移的复变函数表示形式：根据：式中：（平面应变）（平面应力）……(5)式(1)，（2）和（5）统称为克洛索夫公式。边界条件的复变函数表示形式：位移边界条件：力边界条件：边界上每一点在x和y方向上的应力值：根据式子：，化简上式：根据：复变函数表示的力的边界条件：断裂力学应力强度因子及应力场、应变场的求解：Westergaard应力函数根据克洛索夫公式，假设2个K-M函数满足一定的条件，从而求解出应力，应力表达式中只含有一个K-M函数，也就是只含有一个复变函数，这样的应力复变函数称为Westergaard应力函数。在解决实际问题中，满足边界条件的Westergaard应力函数很难得到。