高考第一轮复习数学3.4等差数列与等比数列的综合问题

3.4等差数列与等比数列的综合问题●知识梳理（一）等差、等比数列的性质1.等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m－k）d，d=kmaakm.（2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等差数列.（6）若数列{an}的项数为2n（n∈N*），则S偶－S奇=nd，奇偶SS=nnaa1，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为2n－1（n∈N*），则S奇－S偶=an，奇偶SS=nn1，S2n－1=（2n－1）an（an为中间项）.2.等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为qa，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3qa，qa，aq，aq3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.●点击双基1.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案：D2.已知数列{an}满足an+2=－an（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.1解析：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案：C3.若关于x的方程x2－x+a=0和x2－x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b的值是A.83B.2411C.2413D.7231解析：依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，其中a1=41，即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.由此求得a4=43，d=61，于是a2=125，a3=127.故a+b=a1a4+a2a3=41×43+125×127=14462=7231.答案：D4.（2004年春季上海，12）在等差数列{an}中，当ar=as（r≠s）时，数列{an}必定是常数列，然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s（r≠s），当ar=as时，非常数列{an}的一个例子是___________________.解析：只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可.答案：a，－a，a，－a…（a≠0）5.（2002年北京，14）等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________.解析：设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1·q=2q，a11=a1·q2=2q2.又{an}是等差数列，∴a11=a1+5（a3－a1），∴q=4.答案：4●典例剖析【例1】（2005年春季北京，17）已知{an}是等比数列，a1=2，a3=18；{bn}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+…+b3n－2，Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2=13aa=9，q=±3.当q=－3时，a1+a2+a3=2－6+18=14＜20，这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去.当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意.设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+234d=26.又b1=2，解得d=3，所以bn=3n－1.（2）Sn=2)(1nbbn=23n2+21n.（3）b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+2)1(nn·3d=29n2－25n；b10，b12，b14，…，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+2)1(nn·2d=3n2+26n.Pn－Qn=（29n2－25n）－（3n2+26n）=23n（n－19）.所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n=19时，Pn=Qn；当n≤18时，Pn＜Qn.评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】（2005年北京东城区模拟题）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n均有11bc+22mbc+323bmc+…+nnnbmc1=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{cn}的前n项和Sn.剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn；（2）由题先求出{an}的通项公式后再求Sn.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2.∵a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），∴an=2n－1（n=1，2，3，…）.由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n－1（n=1，2，3，…）.（2）当n=1时，c1=6；当n≥2时，nnnbmc1=（n+1）an+1－nan=4n+1，∴cn=（4n+1）mn－1bn=（4n+1）（3m）n－1.∴cn=1)3)(14(6nmn.,4,3,2,1nn当3m=1，即m=31时，Sn=6+9+13+…+（4n+1）=6+2)149)(1(nn=6+（n－1）（2n+5）=2n2+3n+1.当3m≠1，即m≠31时，Sn=c1+c2+…+cn，即Sn=6+9·（3m）+13·（3m）2+…+（4n－3）（3m）n－2+（4n+1）（3m）n－1.①3mSn=6·3m+9·（3m）2+13·（3m）3+…+（4n－3）（3m）n－1+（4n+1）（3m）n.②①－②得（1－3m）Sn=6+3·3m+4·（3m）2+4·（3m）3+…+4·（3m）n－1－（4n+1）（3m）n=6+9m+4［（3m）2+（3m）3+…+（3m）n－1］－（4n+1）（3m）n=6+9m+mmmn31])3()3[(42－（4n+1）（3m）n.∴Sn=mmnmn31)3)(14(96+22)31(])3()3[(4mmmn.∴Sn=222)31(])3()3[(431)3)(14(96132mmmmmnmnnnn.31,31mm评述：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】（2005年北京海淀区模拟题）在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：∵bn=log2an，∴bn+1－bn=log2nnaa1=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.（2）解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=2.∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0.∵b1b3b5=0，∴b5=0.∴.04,2211dbdb解得.1,41db∴Sn=4n+2)1(nn×（－1）=292nn.∵,4log,1log122aq∴.16,211aq∴an=25－n（n∈N*）.（3）解：显然an=25－n＞0，当n≥9时，Sn=2)9(nn≤0.∴n≥9时，an＞Sn.∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=21，a7=41，a8=81，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn；当n=1，2或n≥9时，an＞Sn.评述：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.●闯关训练夯实基础1.在等比数列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是A.abB.22abC.ab2D.2ab解析：由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C.答案：C2.公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则642531aaaaaa=_____.解析：设公差为d（d≠0），由题意a32=a2·a6，即（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解得d=－2a1，故642531aaaaaa=dada936311=11159aa=53.答案：533.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是___________________.解析：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1·b2.∴21221)(