应用统计学-第二章多维正态分布

MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity第二章向量、矩阵与多维正态分布向量与矩阵的基础知识坐标系与多维数据的图示矩阵运算的几何解释随机向量及其数字特征多维正态分布及其标准化MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity一、向量与矩阵的基础知识正交阵、对角阵矩阵的迹及其性质：矩阵的对角元素之和tr(A)=∑aii矩阵的秩特征根与特征向量若A为对称阵，则A的全部特征根为实数，故可按大小次序排成1≥2≥…≥p。若A为对称阵，i，j是它的两个不相同的特征根，则相应的特征向量li和lj互相正交，这时A可表示为pi'iiillλ1AMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity二、坐标系与多维数据的图示说明：向量-列，向量、矩阵-粗，标量-普通坐标系（以二维为例）标准基向量)1,0()0,1(21TTeeTTTaaaa221121),(eea(0,1)(1,0)),(21aa向量–坐标系中的点或方向线（矢量）a1,a2分别是a在两个坐标轴上的投影MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity向量的几何解释MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity向量的模（矢量的长度）MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity三、矩阵运算的几何解释数量乘数量乘：标量c乘以向量x——尺度变换将x在原方向上扩大或缩小c倍TT,cxcx,xxcc)()(2121xMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity三、矩阵运算的几何解释向量乘——投影：22112121),(awawaawwTawawawT0awwaT垂直，则和如果MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity矩阵×向量——投影例：23个地区供电局的经营数据：利润和售电量。用一综合指标评估其运营绩效设：a1=(售电量s)23×1,a2=(利润s)23×1a=(a1,a2)23×2,w1T=(0.766,0.643)运算结果212111643.0766.0643.0766.0),(aaaaawz–例：新城分局售电量s=1.5，利润s=0.49，–则z1=0.766×1.5+0.643×0.49=1.46MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity-1.000.001.002.00售电量s-1.000.001.00利润sw1矩阵乘：在多于一维上投影z1=aw1是a在w1方向投影，现在我们再找一个与w1垂直的方向w2，z2=aw2是a在w2方向上的投影.这样，a=(a1,a2)→z=(z1,z2)=aw。w=(w1,w2)为一正交阵。几何意义：坐标轴旋转前地区供电局例，设w2T=(-0.643,0.766)，221122321222122321,766.0643.0643.0766.0),(awzawzzzwwaa则计算结果MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityZ13210-1-2Z22.01.51.0.50.0-.5-1.0-1.5-2.0w1w2-1.000.001.002.00售电量s-1.000.001.00利润sw1w2a1a2z1z2MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity四、随机向量及其数字特征MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity均值向量MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity自协方差矩阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity若xi独立MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity总方差MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity随机向量的相关矩阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity相关阵与协方差阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity简单随机抽样MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity样本均值向量MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity样本协方差矩阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity样本相关矩阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity标准化随机向量为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往采用标准化变量标准化随机向量有：**X'XXX0X11)()()(***nRE即：标准化数据的协方差阵正好是原变量的相关阵MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity五、多维正态分布MaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversityMaXin,NorthChinaElectricPowerUniversity