高二数学推理与证明知识点与习题

推理与证明一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1用归纳推理发现规律1、观察：715211；5.516.5211；33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22ba2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()fn表示第n幅图的蜂巢总数.则(4)f=_____;()fn=___________.【解题思路】找出)1()(nfnf的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(fff37181261)4(f133)1(6181261)(2nnnnf【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法，hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin[解析]ABC为锐角三角形，BABA22，xysin在)2,0(上是增函数，BBAcos)2sin(sin同理可得CBcossin，ACcossinCBACBAcoscoscossinsinsin考点2分析法已知0ba,求证baba[解析]要证baba，只需证22)()(baba即baabba2，只需证abb，即证ab显然ab成立，因此baba成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3反证法已知)1(12)(axxaxfx，证明方程0)(xf没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设0x是0)(xf的负数根，则00x且10x且12000xxax112010000xxax，解得2210x，这与00x矛盾，故方程0)(xf没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k),(0nkNk且时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2k且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式)(kf（3）从)1(kf和)(kf的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子考点2数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn[解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即2)1(21)1(3221kkk则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212kkkkkkk02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122kkkkkkkk2]1)1[(21)2)(1()1(3221kkkkk当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面习题1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。2、在十进制中01232004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.20043、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=aan112，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a34、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(nnnnnn”（Nn）时，从“1knkn到”时，左边应增添的式子是（）A．12kB．)12(2kC．112kkD．122kk5、已知n为正偶数，用数学归纳法证明)214121(2114131211nnnn时，若已假设2(kkn为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．1kn时等式成立B．2kn时等式成立C．22kn时等式成立D．)2(2kn时等式成立6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解7、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数8、已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.求证：a0，b0，c0.9、已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.10、（1）用数学归纳法证明：nn53能被6整除；（2）求证n333)2()1(nn(n∈N*)能被9整除11、若a,b,c均为实数，且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求证：a，b，c中至少有一个大于0。12、用数学归纳法证明：nn1214131211；13、用数学归纳法证明下述不等式：).2,(10931312111nNnnnnn且