高二数学直线的方程

高二数学:直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．3、理解直线方程的常数参数的几何意义．4、两直线平行垂直的判定与应用5、到角与夹角公式二、重难点分析：(一)直线方程五种形式及限制条件名称方程常数的几何意义不能表示的直线点斜式y-y1=k(x-x1)(x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率x=x1斜截式y=kx+bk为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距x=x1两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点x=x1y=y1截距式a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0(A2+B2≠0)A、B、C为系数无说明：点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。一般式是对各种具体形式的概括，因此理论上很重要。(二)方程的推导1.点斜式注意：(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x≠xl和x=x1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。(3)写直线方程时保证[1]x，y∈R；[2]等价变形，结果会不会缩小或扩大曲线，满足曲线的方程定义的两条。(4)在具体求解问题时，点斜式不能表示的直线需单独进行讨论。容易丢解。2.斜截式若直线L的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线L过点(0，b)，由点斜式方程知，直线L的方程为y-b=kx即y=kx+b.注：截距是数量值，而不是长度值。3.两点式若直线L过点(x1，y1)、(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2则直线L的斜率为，由点斜式方程知直线L的方程为注意：与其它两种写法的区别：表示的不是整条直线，不包括点(x1，y1)，所以它不符合纯粹性，不是所求曲线的方程：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)可以表示过这两点的所有直线，而且对已知两点没有限制。4.截距式若直线L在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，即过点(a,0),(0,b)当a≠0，b≠0时，由两点式方程知，，即为所求的截距式方程：当a=0且b=0时，直线L的方程为y=kx当a，b其中一个为0时，不存在截距，不能表示与x轴、y轴垂直的直线。5.一般式Ax+By+C=0(A2+b2≠0)第一、在平面直角坐标系中，对于任何一直条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程。如：在平面直角坐标系中，每条直线都有倾角时，有斜率k，直线方程为y=kx+b；当时，x=x1；他们都是关于x、y的二元一次方程。第二、任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。直线方程的一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)当B≠0时，其斜率为，在y轴上的截距为当B=0时，由于A、B不同时为零所以A≠0，方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线。综上，在直角坐标平面内，任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。注意：对二元一次方程中限制条件A2+B2≠0的理解。(三)直线的参数方程直线L过P0(x0，y0)，方程向量为设P(x,y)是直线L上的任意一点，则所以有且只有一个实数t，使得，即(x-x0,y-y0)=t(a,b)(四)直线的方向量方程：P55点向式方程：将参数方程消去参数t，得点法式方程，(放到直线的位置关系后讲)过点P(x0,y0)，法向量为则A(x-x0)+B(y-y0)=0二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式1.平行与垂直(1)平行：[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；[2]l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，(2)垂直：[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，[2]l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为Bx-Ay+m=02.到角、夹角的概念与公式：[1]到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)②θ的范围：0°θ180°；[2]l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于90°的角叫两条直线的夹角。①l1与l2相交不垂直时是锐角，0°θ90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°θ≤90°；夹角公式：[3]使用范围：到角和夹角均不等于90°不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。如l1:x=3与l2:y=2x+6的夹角：画图：三、典型例题：例1、已知直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，求k的取值范围。法一：法二：y=k(x+1)+1，过定点(-1,1)，kAO=-1如图，因为直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，∴-1k1例2.求满足下列条件的直线方程(1)L过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等；解：当直线L过AB的中点C(1,1)，∴L的方程为y=1当直线L∥AB，则设直线L的方程为y-1=k(x+2)因(2)L被两直线L1：4x+y+6=0，L2:3x-5y-6=0截得的线段中点恰为坐标原点。法一：设L的方程为y=kx，且L与L2交于点(a,b)，与L1交于点(-a，-b)所以直线L的方程为法二：设L的方程为y=kx，且L与L1交于点A，与L2交于点B，则由由题意知所以L的方程为[发展]法一中满足方程为什么？例3.直线L过点P(2,1)，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求使(1)△ABC面积最小时L的方程；法一：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则当且仅当时，Smin=4，此时直线方程为法二：设直线L的方程为∴ab≥8，当且仅当即时等号成立所以当面积最小时直线的方程为x+2y=4法三：(平面几何)当点P恰为直线L与x，y轴交点的中点时，面积最小，因为如图，P为MN中点，过N作NE∥AM，则△NPE≌△PAM，所以S△BOAS△MAN。(2)|OA|+|OB|取最小值时L的方程；解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则当且仅当此时直线的方程为(3)|PA|·|PB|取最小值时L的方程。解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则当且仅当即k=-1时(|PA|·|PB|)min=4，此时直线方程为y=-x+3例4.设直线L的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0，试根据下列条件，分别求出m的值；(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1。解：(1)(2)例5.已知点A(-2,3)和直线l1:x-y+3=0，分别求过点A且满足下列条件的直线l的方程：(1)l与l1的夹角为45°；(2)l1与l的角为15°。解：(1)法一：设直线l的方程为y-3=k(x+2)，或x=-2由夹角公式知因x=-2符合题意，所以直线l的方程为y=3或x=-2法二：数形结合(2)设直线l的方程为y-3=k(x+2)，由到角公式所以所求直线的方程为注：特殊情况要单独解决；数形结合。例6.等腰三角形一腰所在直线l1的方程为x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程。提示：例7.(1)求点P(4,0)关于直线x+y+1=0的对称点P'；法1：设P'(x',y')，则直线x+y+1=0是线段PP'的中垂线，法2：由题意，直线PP'的斜率为1，所以其方程为y=x-4由，所以P'(-1，-5)法3：设P'(x'，y')，由题意，直线x+y＋1=0的方向向量为则又[评]上面的两种方法中列方程组的本质是垂直、平分。记忆下列结果可以用于选择、填空题点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点的坐标是(-y-c,-x-c);点A(x,y)关于直线x-y+c=0的对称点的坐标是(y-c,x+c);曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线是f(-y-c,-x-c)=0曲线f(x,y)=0关于直线x-y=c=0的对称曲线是f(y-c,x+c)=0；(2)求直线l1:3x-5y-2=0关于直线l：y=x+1对称的直线的方程；法1：(可求出l与l1的交点，再分别在l1，l2上各找出一点，使它们关于l对称)由∴直线l与l1的交点为在l1上找一点M(-1，-1)，设N(x,y)为M关于直线l的对称点，因直线l2过P、N两点，所以直线l2的方程为5x-3y+10=0法2：设P(x1，y1)是直线l1:3x-5y-2=0上的任一点，P关于直线y=x+1的对称点为Q(x,y)∴3(y-1)-5(x＋1)-2=0所以所求直线的方程为5x-3y+10=0法3：(由对称性，l1到l的角等于l到l2的角)由法1知直线l与l1的交点为，设l2的斜率为k,则，所以法4：利用上面(1)的结论直接求，但只能用于选择填空。[评]解法1与解法3利用了直线的特殊性质，而解法2是求轴对称曲线的一般方法，利用了求动点的轨迹的方法。课后练习：1.光线经过点，在直线l:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1)，求入射光线所在直线的方程及反射点坐标；2.已知△ABC中，∠A的平分线方程为2x+y-1=0，B(1,2)C(-1,-1)，求点A的坐标。3.已知△ABC中，一个顶点为A(4，-1)，两条内角平分线所在直线分别为x=1,x-y-1=0，求直线BC的方程。4.求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线的方程；参考答案：1.2.3.y=2x+34.y=-4x+21