高一第8讲对数函数及性质(教师版)

-1-/8高一数学上第8讲第8讲对数函数及性质（教师版）一．学习目标：（1）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（2）知道对数函数是一类重要的函数模型。（3）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）二．重点难点：重点：对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数函数在a1与0a1时图象、性质的区别．②对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．三．知识梳理：1.定义：形如（）的函数。2.对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数3．反函数（1）定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量。而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。（2）表示：函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.（3）指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。四．典例剖析：题型一对数函数的概念例1（一）指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1[思路探索]严格按照对数函数的形式判断，对于形似的函数要辨别清楚．解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．课堂小结：1.同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a0，且a≠1)才是．2．判定一个函数为对数函数，必须满足：logxay0,1aa且logxay0,1aa且1a01a01x(,0)y1x(0,)y1x(,0)y01x(0,)y-2-/8高一数学上第8讲(1)logax的系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.（二）已知函数f(x)为对数函数，且满足f(3＋1)＋f(3－1)＝1，求f(5＋1)＋f(5－1)的值．解设对数函数f(x)＝logax(a0，a≠1)，由已知得loga(3＋1)＋loga(3－1)＝1，即loga[(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a＝2.所以f(x)＝log2x(x0)．从而得f(5＋1)＋f(5－1)＝log2[(5＋1)×(5－1)]＝2.课堂练习1：下列函数中是对数函数的是()．①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；:③y＝ln；④y＝logx(x＋2)；A．0个B．1个C．2个D．3个解析上述4个函数均不符合对数函数的定义，没有对数函数．答案A例2（1）求下列函数的定义域：（1）12log121xyx（2）229lg(23)xyxx答：（1）x∈(0,12)(2)x∈(-∞,15)∪(15,-3)∪[3,+∞)课堂练习2：（1）（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1xfxx的定义域是（）A．(1,)B．[1,)C．(1,1)(1,)D．[1,1)(1,)【答案】C（2）(2011年江西理科高考)若f(x)＝121log(21)x，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析要使f(x)有意义，需log12(2x＋1)0＝log121，∴02x＋11，∴－12x0.答案A题型二对数函数的图像例3（1）下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取3，43，35，110，则图象C1，C2，C3，C4相应的a值依次是()A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35答：A过(0,1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1a2a3a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．-3-/8高一数学上第8讲（2）（2013年高考天津卷（文））设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe.若实数a,b满足()0,()0fagb,则（）A．()0()gafbB．()0()fbgaC．0()()gafbD．()()0fbga【答案】A（3）已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11【解析】首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增，可得a1；又－1f(0)0，即－1logab0，所以a－1b1，故0a－1b1.（4）．（2012年高考全国新课标）当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是（A）(0，22)（B）(22，1)（C）(1，2)（D）(2，2)答：B课堂练习3：（1）已知函数f(x)＝15x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()A．不小于0B．恒为正数C．恒为负数D．不大于0解析：选B由题意知，x0是函数y＝15x和y＝log3x的图象交点的横坐标，因为0x1x0，由图知，15x1log3x1，所以f(x1)的值恒为正数．（2）(2010年全国高考题Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解：画出函数f(x)＝|lgx|的图象如图所示．∵0ab，f(a)＝f(b)，∴0a1，b1，∴lga0，lgb0.由f(a)＝f(b)，∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，又0a1，函数t＝a＋2a在(0,1)上是减函数，∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.题型三对数函数性质及应用例4（定点性）不论a为何值，f(x)=3+log(35)ax恒过定点。。答：（4-,33（）。课堂练习4：函数262()37log(29)xxafxaxx恒过定点。。-4-/8高一数学上第8讲答：（-2,3）例5（单调性）（一）比较大小：（1）(同底法)(2011年天津文科高考题)已知2log3.6a，4log3.2b，4log3.6c，则AabcB,acbC.bacD.cab答：B用同底法比较大小。（2）(中间量法)(2011年重庆文科高考题)设a=log1312,b=log1223,c=log343,则a,b,c的大小关系是(A)a𝑏𝑐(B)c𝑏𝑎(C)b𝑎𝑐(D)b𝑐𝑎【答案】B（3）（特值法）（2008年全国高考题二卷）若1(,1)xe，3ln,2ln,lnaxbxcx，则AabcBcabCbacDbca答：令x=12e,代入验证即可。小结：1.比较两个指数幂或对数值大小的方法：(1)分清是底数相同还是指数(真数)相同；(2)利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小；(3)当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过渡处理．2．多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行0,1分类，然后在每一类中比较大小．课堂练习5：（1）（2010年天津文科高考题）设，，，则Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】因为，，，所以，所以，故选Ｄ．（2）（2010年全国高考题一卷）123log2,ln2,5abc，则A.abcB.bcaC.cabD.cba答：C.用换底公式得ab,用中间量12，得ac.（3）（2011·天津理)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log30.3，则()A．abcB．bacC．acbD．cab【解析】因为，又log23.4log31031log43.60，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以acb，故选择C.（二）求单调区间：（1）求函数213log(45)yxx的单调区间。答：(,5)为增区间，(1,)为减区间。（三）求字母范围：函数f(x)=212log(23)xmx在区间1,2上是增函数。求实数a的取值范围。答：1,2m。课堂练习6：（1）．(2010重庆)下列区间中，函数f(x)＝|lg(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B.－1，43C.0，32D．[1,2)【解析】用图象法解决，将函数y＝lgx的图象关于y轴对称得到函数y＝lg(－x)的图象，5log4a25log3b4log5cacbbcaabcbac44log5log41cc50log41a50log31a25555log3log3log4log4babac-5-/8高一数学上第8讲再向右平移2个单位长度，得到函数y＝lg[]－x－，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到函数f(x)＝|lg(2－x)|的图象．由图象，知选项中函数f(x)是增函数的显然只有D.（2）函数f(x)=2log(3)axax（a0且1a），在-]2a（，上为减函数，求实数a的取值范围。答：(1,23)a。例6（正负性）（1）求使函数y＝loga(3x＋4)的函数值恒为负值的x的取值范围．解当a1时，由题意有03x＋41，即－43x－1.当0a1时，由题意有3x＋41，即x－1.综上，当a1时，－43x－1；当0a1时，x－1.（2）设函数f(x)＝log2a(x＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C.12，1D.0，12解．D[已知－1x0，则0x＋11，又当－1x0时，都有f(x)0，即0x＋11时都有f(x)0，所以02a1，即0a12.]课堂练习7：若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(12，1)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是()A．(－∞，－14)B．(－14，＋∞)C．(－∞，－12)D．(0，＋∞)解析：选D.因2x2＋x在(12，1)上恒大于1，∴a＞1，因f(x)的定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－12)，函数y＝2x2＋x的单调递增区间为[－14，＋∞)，因此f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．例7（奇偶性）:判断下述函数的奇偶性：122012(1)()log2012xfxx（2）23()log(1)fxxx222(3)()1(111);fxogxx1(1)(0)(4)()0(0);1(1)(0)nxxxfxxnxxx答：（1）奇函数。（2）奇函数。（3）既为奇函数又为偶函数。（4）偶函数。课堂练习8：（1）（2013年高考辽宁卷（文））已知函数21ln1931,.lg2lg2fxxxff则A．1B．0C．1D．2【答案】D（2）（2013年高考重庆卷（文））已知函数3()sin4(,)fxaxbxabR,-6-/8高一数学上第8讲2(lg(log10))5f,则(lg(lg2))f（）A．5B．1C．3D．4【答案】C题型四对数函数的综合运用例8已知函数f(x)