高等数学中的重要思想方法

高等数学中的几种重要思想方法中国地质大学（武汉）徐达摘要:高等数学是工科类本科学生重要的基础课程，对同学们今后的学习、工作有极大帮助。本文通过列举并分析高等数学学习中的几种重要思想方法，并从这几种方法的原理、应用实例和适用条件等方面入手进行阐释，使高等数学的学习更科学、规范、高效。关键词：高等数学；思想方法SeveralimportantthinkingmethodsofadvancedmathematicsXUDaAbstract:Advancedmathematicsisanimportantbasiscourseofengineeringcourses,whichwillbehelpfulforourstudyandworkalotinfuture.Thisarticlelistsandanalyzesseveralimportantthinkingmethodsofmathematicslearningandinterpretssomeaspectsofthesemethodsincludingprinciples,usingexamplesandsuitableconditions.Thesewillmakeadvancedmathematicslearningmorescientific,normalandconcentrated.Keywords:advancedmathematics;importantthinkingmethods引言高等数学的学习有着独特的复杂性。一方面，作为一门基础学科，高等数学在工科课程中有着无法替代的重要地位。另一方面，高等数学的内容较为繁多复杂，对学习者知识掌握的熟练性和知识运用的灵活性有很高要求，往往令很多同学感到困难或不易接受。因此，要想将高等数学学好，除了用功稳固知识的掌握，更要能学习这门学科的一些重要思想方法，以此为突破口，才能对课程内容及其延伸有更深的理解，才能将各部分的知识灵活运用，以达到事半功倍的效果。本文着重总结了在高等数学中运用广泛，对学习者要求较高的四种思想方法，分别是函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想。如果能将以此为代表的思想方法深入研究、探讨，透彻理解，对高等数学的学习与知识运用有极大帮助。一、函数与方程的思想函数与方程的思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握这种思想,用函数与方程的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数与方程的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数与方程的思想来解决问题,探索数学世界发展规律的现实意义。在高等数学中主要应用的是连续性,可微性,可积性等解析性质,这就需要我们从实际问题中找到对应函数并灵活运用这些性质。现在结合实例进行说明。例一质量为1g的质点受外力作用做直线运动，此外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比。在t=10s时，其速度为50cm/s，外力为4g·cm/s²，问从运动开始经过一分钟质点的速度是多少？这是高等数学中的一道实际应用题，对函数与方程的思想有明确要求。首先要正确理解速度与时间的函数v(t)以及外力所产生的加速度与时间的函数a(t)。若质点t时刻的速度为v(t),t＋Δt时刻的速度为v(t＋Δt),则Δt时间内其速度增量为Δv=v(t+Δt)－v(t),由定义平均加速度_a=tttvtv，当0t时，平均加速度的极限为某时刻的瞬时加速度，即dtdvtvt0lim,因此加速度即速度对时间的导数。所以对于这道题目，我们就可以根据变量间的函数关系得到方程由外力与时间成正比且与速度成反比即vtkF，由10t时，scmv50，24scmgF，可解得20k,因此vtF20又由牛顿第二定律dtdvmaF，得到微分方程tdtvdv20解此微分方程得ctv221021再代入已知条件解得250c，因此500202tv当60t时，scmv3.26950060202。解毕由以上分析可以看出，在解含有相关的变量的题目时，应该要有牢固的函数与方程的思想，这种思想的运用在高等数学中比比皆是，是学习高等数学必备的素质二、数形结合的思想利用数形结合便于增强对概念的理解，将概念与空间形式巧妙而和谐地结合起来，可增强解题中的求简意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关图学数学应加强数形结合能力的培养。任何知识的产生和发展都来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，更是如此。通过数形结合提高对数学知识的认知能力。数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，深入理解数学知识的内涵和外延，并提高解决问题的能力和自主学习能力例如，在导数的应用这一部分中，函数的极值及其求法是重要内容。在这里有一个需要重点掌握的定理，即极值的第一充分条件：设函数xf在0x处连续，且在0x的某去心邻域,0xUo内可导。（1）若00,xxx时，00xf，而00,xxx时，00xf，则xf在0x处取得极大值（2）若00,xxx时，00xf，而00,xxx时，00xf，则xf在0x处取得极小值（3）若,0xUxo时，xf的符号保持不变，则xf在0x处没有极值如果只根据定理本身将这个重要知识理解并掌握显然并不容易，这个时候数形结合的思想的重要性就体现出来。在函数的学习中，函数的图象必然是重要的内容，我们可以根据定理将xf的函数图象做出，对极值的第一充分条件获得准确而深入的理解。在（1）中，当00,xxx时，00xf，由函数的导数与单调性的关系可知xf在区间00,xx上单调递减，同理在00,xx上单调递增，由此我们做出xf的大致图像0xxyO-4-3-2-11234-4-3-2-1123411.5根据函数图象，我们可以对这一定理有直观的理解。在ox的邻域oU内的任一x有0xfxf，因此xf在0x处取得极大值。同样的，定理中的（2）、（3）也可由函数图象直观而准确的得到理解。我们再看一个积分第一中值定理用到的数形结合的简化作用的例子：若xf在闭区间ba,上连续，则至少存在一点，使得baabfdxxf积分第一中值定理的几何意义（见上图）是，若f在ba,上非负连续，则xfy在ba,上的曲边梯形的面积等于以f为高，ba,为底的矩形面积。而badxxfab1则可理解为xf在ba,上所有函数值的平均值。这是通常有限个数的算术平均值的推广。通过积分第一中值定理的几何意义，我们很容易就能把握定理所表达的内涵的来龙去脉，从而使学习变得轻松。三、分类讨论思想解决数学问题,实质上是接收信息、加工信息和输出信息的过程当我们面对较为繁杂无序的信息时,要想尽快地、准确地将有关信息传输到适当的流程中去,首先必须对接收到的信息进行鉴别、判断、分类、梳理,然后逐类进行加工,这就是分类讨论—它是一种十分重要的数学思想方法。数学中的分类是一种逻辑划分,即在研究解决数学问题时,按照一定的标准,将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分。实践证明,准确分类是提高解题效率的关键,下面结合两个具体的高等数学问题加以说明。例一求1limkxkxxebae，其中bak,,为常数该题目中的函数1kxkxebaey除了自变量x以外，还有a,b,k三个参数,所确定分类标准是找到切入口的关键在上述解答中选定k作“主参数”，按k的取值情况进行分类，起到举纲带目。当0k时，原式等于aeebakxkxx11lim；当0k时，原式等于ba21；当0k时，因0limkxxe，故原式等于b,解毕。例二讨论函数1lim112xnxnnebaxexxf的连续性，其中a,b为常数。解：先化简xf的表达式当1x时，由于0lim1xnne，故baxebaxexxfxnxnn1lim112；当1x时,将1x代入)(xf得121baxf；当1x时，211211limxeebaxxxfxnxnn。于是2121,xbabaxxf111xxx其次讨论xf的连续性。因babaxxfxx11limlim，1limlim211xxfxx，而1211baf，故由连续性的要求得12111baba（1）当1ba时，xf在1x处连续，因而xf在,内连续；（2）当1ba时，xf有一个间断点1x由这个例题我们可以看出对于一些较为复杂的问题,往往须要多次进行分类讨论,至于分类的标准则应根据解题过程中的具体要求灵活掌握，及时调整。四、化归与转化的思想化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。在高等数学中，我们常常用到化归与转化的思想。例如在微分方程部分，较容易掌握的是可分离变量的微分方程，也就是能写成dxxfdyyg形式的微分方程。设xy是方程的解，代入得dxxfdxxxg。将此式两端积分，得dxxfdyyg，就可以得到微分方程的通解。掌握可分离变量的微分方程后，后面几种类型的微分方程也可以转化为已知类型。例如具有xydxdy形式的齐次方程，可以利用新函数xyu，则uxy，dxduxudxdy。原方程转化为udxduxu，这就具有了可分离变量的微分方程的形式，可以利用已知方法求解。又如具有01111cccybxacbyaxdxdy形式的非齐次方程，可以利用待定常数kh,，令hXx，kYy。（1）当bbaa11时，可由00111ckbhacbkah确定h及k从而将原方程转化为齐次方程ybxabyaxdxdy11，利用已知方法求解;（2）当bbaa11时，可以令bbaa11，将原方程转化为1cbyaxcbyaxdxdy，再利用新变量byaxv，将以上方程转化为可分离变量的微分方程，同样可以利用已知的方法求解在许多习题中，我们常常需要用到不同的手段将条件进行转化，常用的手段有换元，数形转化，一般与特殊之间的转化。现在结合实例进行说明。例一、求不定积分dxex211解：令textan，则txtanln，dtttdxcossin1，所以dttttdxexcossin1sec1112tdtcscCttcotcsclnCeeexxx11ln2Cxex11ln2解毕。这是一个典型的应用换元进行转化的题目，xe21具有21x的形式，这使我们想到利用正切函数换元。由此不难看出，挖掘题目中的有效信息，使用合适的手段转化，是成功转化的关键。而这需要高等数学学习者不断地练习与总结。结论对以上四种思想方法总结分析之后，我们可以对高等数学中的重要思想方法有更清晰、深入的理解，这对我们之后的学习是很有帮助的。但对一个学习者来说，要想将以