高等数学第九章重积分

1oxyD1第9章重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：d01(,)lim(,)niiiiDfxyf其中：D：平面有界闭区域，：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），i：D中第i个小区域的面积2、几何意义：当(,)0fxy时，d(,)Dfxy表示以曲面(,)zfxy为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积。所以d1D表示区域D的面积。3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1）若D为X型积分区域：12,()()axbyxyyx，则21()()(,)(,)byxayxDfxydxdydxfxydy（2）若D为Y型积分区域：12,()()cydxyxxy，则21()()(,)(,)dxycxyDfxydxdydyfxydx（3）D必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。（5）对称性的应用xyO3D2D1D2oxyD11(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyyDxfxyy关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数1(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyxDyfxyx关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分：2222sin1,sin,cos,,,,lnyxxxxdxxdxxdxedxedxedxdxxx一定要放在后面积分。1．设),(yxf为连续函数，交换二次积分1202010),(),(yydxyxfdydxyxfdy的积分次序。2．求积分xxyxxyxdyedxdyedx121212141的值。3．若D是由1,1,3xyxy所围成的平面有界闭区域，而)(uf是连续函数，则Ddxdyyxfyxx)](sin[222＝；（注意对称性的应用：72）4、计算二重积分Dxdxdye2，其中D是第一象限中直线xy和曲线3xy围成的区域。5、用二重积分求由曲线2axy，)0(25aayx所围成的平面图形的面积。6．利用二重积分计算由曲面22yxZ，1y，0z，2xy所围成的曲顶柱体的体积。2、在极坐标下计算二重积分（1）极坐标下区域D的面积为：Ddd3OADθDAODoAθ（2）如果被积函数为2222(),(),(),(arctan)yyfxyfxyffxx，或者积分区域为圆域、扇形域、圆环时，则可用极坐标。（3）若积分区域D为：12,()()，则21()()(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd（4）若积分区域D为：,0()，则()0(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd（5）若积分区域D为：02,0()2()00(,)(cos,sin)(cos,sin)DDfxydxdyfdddfd1．计算二重积分Ddxdyyx)(，其中)0(02:22aaxyxD。2、计算2140)(1041)(2222222dyedxdyedxIxyxxxyx。3、计算axaaxadyyxayxdxI022222)0()(41224．计算二重积分Ddxdyyx)sin(22，其中积分域D为0,0,422yxyx。4三、三重积分的概念、性质1、三重积分的概念：d01(,,)lim(,,)niiiiifxyzvfv其中：：空间有界闭区域，：中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），iv：iv中第i个小区域的体积面积2、几何意义：1dv表示空间闭区域的体积。3、性质（与二重积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质等四、三重积分的计算1、对称性的应用（1）若积分区域关于xoy坐标面对称，则d(,,)fxyzv1(,,)2(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyzfxyz关于为偶函数，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数其中1为在xoy坐标面的上半部分区域（2）若积分区域关于yoz，xoz坐标面同时对称，则d(,,)fxyzv1(,,)4(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyxyfxyxy同时为关于，的偶函数，　　　　　　　　　　　　　同时为关于，的奇函数其中1为在第一、五卦限部分的区域（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则d(,,)fxyzv1(,,)8(,,),(,)0(,)fxyzdvfxyzdvfxyxyzfxyxyz同时为关于，，的偶函数，　　　　　　　　　　　　　同时为关于，，的奇函数其中1为在第一卦限部分的区域2、直角坐标系下三重积分的计算（1）投影法（先一后二法）例如，将空间闭区域投影到xoy面：51212(,)(,)(,):(,):xyzxyzzxyzzzxyzzxyDxoy　　　　从含有的方程中找出下底面　　　　　　　　　　　　　和上顶面在面上的投影区域则21(,)(,)(,,)(,,)xyzxyzxyDfxyzdvdxdyfxyzdz注意：投影到xoy面上，则最先对z积分。当然，也可以投影到yoz面上：1212(,)(,)(,):(,):yzxyzxxyzxxxyzxxyzDyoz　　　　从含有的方程中找出下底面　　　　　　　　　　　　　和上顶面在面上的投影区域21(,)(,)(,,)(,,)yzxyzxyzDfxyzdvdydzfxyzdx（2）截面法（先二后一法）例如把积分区域D先向Z坐标轴投影：::[,],zxoyzczdDzcd　　　对用过轴且平行于面底平面截所得的截面(,,)(,,)zdcDfxyzdvdzfxyzdxdy注意：投影到z轴上，则最后对z积分。当被积函数仅与变量z有关，且截面zD容易知道时，用上述公式简便当然也可以投影到其他两个坐标轴上。1．化三重积分(,,)Ifxyzdxdydz，其中积分区域为由曲面222zxy及22zx所围。2．设)(xf在),(上连续，证明：112)()1()(dzzfzdvzf，其中1:222zyx所围成的空间区域。3．计算dvez，其中1:222zyx。4．计算DzdxdydzI，其中是由平面1,0zz及柱面122yx围成的区域。65、zdxdydz，式中为由2122zyxz所确定的固定的圆台体。6、求曲面2224zaxy及22zxy所围立体体积。3、柱坐标系下三重积分的计算（1）计算公式：(,,)(cos,sin,)fxyzdvfzdddz例如将投影到xoy面上：1212(,)(,)::()()xyzzzD，则2211()(,)()(,)(,,)(cos,sin)zzfxyzdvddfdz（2）如果被积函数为22(),(),()yzfxyzfzfxyx，积分区域为圆柱面（或一部分）、锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。1．计算zdxdydzI，其中是由柱面122yx及平面1,0zz围成的区域。2、计算22Izxydxdydz，其中是由半圆柱面2220(0)xyxy及平面0,0,(0)yzzaa围成的区域。4、球面坐标（1）计算公式：2(,,)(sincos,sinsin,cos)sinfxyzdvfrrrrdrdd0,02,0r（2）通常是先对r积分，再对积分，最后对积分。（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为222()fxyz时，则球面坐标比较方便。1．将三次积分222212221111)(yxxxdzzyxfdydxI表示为球面坐标下的三次积分，则I＝；sec024320sin)(drrrfdd72．设是由zzyx2222所确定的立体，试将dvzyxf),(22化成球面坐标下的三次积分。（2cos22222000sin(sin,cos)Iddfrrrdr。）3、计算dxdydzzyxI2221，其中积分区域是由1,1)1(222zzyx与0y确定。五、重积分的应用1、几何应用——求曲面的面积1、求曲面222yxz包含在圆柱面xyx222内那部分（记为）的面积。2、物理应用——质量、质心、转动惯量、引力（掌握计算公式）1、物体的形状是由曲面222yxz及曲面2226yxz所围成的立体，而该物体在点),,(zyx的密度为22x2),,(yzyxp，求此物体的质量。