高等数学答案第六章4曲面与曲线

习题6—41、一动点移动时，与)0,0,4(A及xOy面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(zyxM，所求的轨迹为C，则(,,)MxyzCMAz亦即zzyx222)4(0)4(22yx从而所求的轨迹方程为0)4(22yx.2、求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(，半径为6R；（2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx（2）由已知，半径73)2(6222R，所以球面方程为49222zyx（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242cba，球的半径21)35()31()24(21222R，所以球面方程为：21)1()1()3(222zyx（4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(，所以08160621008160khggl解之得2210kghl所求的球面方程为0424222zyxzyx.3、求下列旋转曲面的方程：（1）将yOz坐标面上的抛物线22yz绕z旋转一周所生成的旋转曲面；解：222xyz(旋转抛物面).（2）将zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面．解：绕x轴旋转得122222czyax绕z轴旋转得122222czayx.4、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222zyx；（2）14222zyx（3）1222zyx；（4）222)(yxaz解：（1）xOy平面上椭圆19422yx绕x轴旋转而成；或者xOz平面上椭圆22149xz绕x轴旋转而成（2）xOy平面上的双曲线1422yx绕y轴旋转而成；或者yOz平面上的双曲线2214yz绕y轴旋转而成（3）xOy平面上的双曲线122yx绕x轴旋转而成；或者xOz平面上的双曲线221xz绕x轴旋转而成（4）yOz平面上的直线ayz绕z轴旋转而成或者xOz平面上的直线zxa绕z轴旋转而成.5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）1xy；（2）422yx；（3）122yx；（4）22xy.解：（1）1xy在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422yx在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）122yx在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）yx22在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149xz；（2）22yz；（3）221xz；（4）22220xyzx；（5）222yxz；（6）22441xyz；（7）221916xyz；（8）222149xyz；（9）1334222zyx；（10）2223122zyx.解：(1)椭圆柱面；(2)抛物柱面；(3)圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243zyx与三个坐标平面所围成；（2）42,42yxxz及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1zz=aa,y=x,x+y及0x在第一卦限所围成；（4）2222,8zxyzxy所围.解：（1）平面012243zyx与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面24zx与平面24xy及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z、0x及平面(0)z=aa、y=x和圆柱面22=1x+y在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22zxy与开口向下的抛物面228zxy所围.作图略.8、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）21yx；（2）0422yxyxz；（3）222222azxayx解：（1）是平面1x与2y相交所得的一条直线；（2）上半球面224zxy与平面0xy的交线为14圆弧；（3）圆柱面222xya与222xza的交线.图形略.9、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线0162222222yzxzyx的柱面方程.解：消去x坐标得16322zy，为母线平行于x轴的柱面；消去y坐标得：162322zx，为母线平行于y轴的柱面.10、求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：0122xzy；01222xzyx；1122222zyzyx.11、试求平面20x与椭球面222116124xyz相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420xyzx化简为：221932yzx，可知其为平面2x上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(.12、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229xyzyx；（2）04)1()1(22zzyx解：（1）原曲线方程即：199222zxxy，化为tzttytxsin3)20(cos23cos23；（2）)20(0sin3cos31zyx.13、指出下列方程所表示的曲线（1）222253xyzx（2）13094222zzyx；（3）3254222xzyx；（4）408422yxzy；（5）0214922xzy.解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.14、求螺旋线bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：0222zayx；0sinxbzay；0cosybzax.15、求曲线211222zzyx在坐标面上的投影.解：（1）消去变量z后得,4322yx在xOy面上的投影为,04322zyx它是中心在原点，半径为23的圆周.（2）因为曲线在平面21z上，所以在xOz面上的投影为线段.;23||,021xyz（3）同理在yOz面上的投影也为线段..23||,021yxz16、求抛物面xzy22与平面02zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为0222zyxxzy，（1）消去z得投影,004522zxxyyx（2）消去y得投影2252400xzxzxy，（3）消去x得投影22200yzyzx.