高中数学不等关系北师大版必修五

用心爱心专心不等关系教学目标（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学过程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1)某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？(3)下表给出了三种食物X,Y,Z的维生素含量及成本：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)成本(元/kg)X3007005Y5001004Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x,y应满足怎样的关系？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．学生活动在问题(1)中,设x人(20x)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x．在问题(2)中,设每本杂志价格提高x元,则发行量减少50.50.22xx万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2xx万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx，化简，得25104.80xx．在问题(3)中,因为食物X,Y分别为xkg，ykg，故食物Z为(10)xykg，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,xyxyxyxy即25,250.yxy上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(，，，，)表示不等关系.用心爱心专心三．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式,问题(1)中的数学模型为一元二次不等式,问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差ab的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．四．数学运用1．例题：例1．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.xyxyxNyN说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出,xy满足的条件．解：,xy满足的条件为638471000xyxyxy．例3．比较大小：（1）(3)(5)aa与(2)(4)aa；（2）ambm与ab（其中0ba，0m）．分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．解：（1）)4)(2()5)(3(aaaa22(215)(28)70aaaa∴(3)(5)(2)(4)aaaa．（2）()()()()()amabamabmmbabmbbbmbbm，∵0ba，0m，∴()0()mbabbm，所以amabmb．说明：不等式amabmb（0ba，0m）在生活中可以找到原型：b克糖水中有a克糖（0ba），若再添加m克糖（0m），则糖水便甜了．例4．已知2,x比较311xx与266x的大小．用心爱心专心解：3232211(66)33116xxxxxxx2(3)(32)(3)xxxx=(3)(2)(1)xxx-----------------（*）（1）当3x时，（*）式0，所以311xx266x；（2）当3x时，（*）式0，所以311xx266x；（3）当23x时，（*）式0，所以311xx266x说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(xxx与的大小；（2）如果0x,比较22)1()1(xx与的大小．五．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．六．课外作业：1．比较222abc与abbcca的大小；2．已知0,0,ab且ab，比较22abba与ab的大小．