高三数学-苏州中学2016届高三上学期期初数学试卷(理科)

12015-2016学年江苏省苏州中学高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是__________．2．已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B=__________．3．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是__________命题（填“真”、“假”之一）．4．在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=__________．5．把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为__________．6．在约束条件下，则的最小值是__________．7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________（用代号表示）．8．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是__________．29．已知点A（0，2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=__________．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是__________．11．在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC1=2，若用平行于三棱柱A1B1C1﹣ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为__________．12．已知椭圆，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为__________．13．在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设则4x+y的最小值是__________．14．设m∈N，若函数存在整数零点，则m的取值集合为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2．求证：（1）PA⊥平面EBO；（2）FG∥平面EBO．16．（14分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；3（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．18．（16分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．19．（16分）已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项，4（1）若k=7，a1=2；（i）求数列{anbn}的前n项和Tn；（ii）将数列{an}和{bn}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，求证k为奇数．20．（16分）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．三、选做题.在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题20分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲21．如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P．（1）求证：OM•OP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM=90°．B.选修4­-2：矩阵与变换22．已知矩阵M=有特征值λ1=4及对应的一个特征向量．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．C.选修4-4：坐标系与参数方程523．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．D.选修4-5：不等式选讲24．不等式选讲设x，y，z为正数，证明：2（x3+y3+z3）≥x2（y+z）+y2（x+z）+z2（x+y）．四.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．（1）求证：PN⊥AM；（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．26．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（2）求恰好得到n（n∈N*）分的概率．62015-2016学年江苏省苏州中学高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是﹣1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，由虚部等于0，求出a值．【解答】解：∵==是实数，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∪B={x|x＞0}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据不等式的解法，B={x|0＜x＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【解答】解：根据不等式的解法，易得B={x|0＜x＜2}，又有A={x|x＞1}，则A∪B={x|0＜x}．故答案为：{x|x＞0}【点评】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．3．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）．【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，利用复合命题p或q有真则真，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2≥4”∵a＞2∴a2＞4∴a2≥4∴否命题为真命题故答案为：真7【点评】本题考查命题的否命题：是将条件，结论同时否定，注意否命题与命题的否定的区别．4．在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=12．【考点】程序框图．【专题】阅读型．【分析】m=4，n=3，i=1，a=4，不满足条件n整除a，执行循环体，依此类推，当i=3，a=12，满足条件n整除a，退出循环体，从而得到a的值．【解答】解：m=4，n=3，i=1，a=4，不满足条件n整除a，执行循环体i=2，a=8，不满足条件n整除a，执行循环体i=3，a=12，满足条件n整除a，退出循环体故此时a的为12，故答案为：12【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】根据正方体的结构，计算出带有红漆的小木块的个数，利用公式求出即可【解答】解：由正方体的结构及锯木块的方法，知不带红漆的只有中间一块故至少一面带有红漆的木块有26个所以从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为故答案为【点评】本题考查根据实际情况求事件发生的概率，概率与几何体结合考查，是近几年高考的一个热点，即考查了概率的基础知识，也考查了立体几何的空间想像能力，学习时要注意这两个知识点之间的衔接．86．在约束条件下，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离．【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离∴d=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置．7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：①③④⇒②（或②③④⇒①）（用代号表示）．【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m∥β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；9证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m∥β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，由于本题是一个开放式的问题，只须取其中之一即可，做题时要注意题目的不同要求．作出合理判断．8．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】首先由正弦定理，可得=，进而根据双曲线的几何性质，可得|AB|=2c=4，|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；代入中，可得答案．【解答】解：根据正弦定理：在△ABC中，有=；又由题意A、B分别是双曲线的左、右焦点，则|AB|=2c=4，且△ABC的顶点C在双曲线的右支上，又可得|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2；故则===﹣；故答案为：﹣．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意点C在双曲线的右支上，则有|CA|＞|CB|，即|CB|﹣|CA|=﹣2a，这是一个易错点．9．已知点A（0，2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线的定义可得BM=B