高中数学必修2解析几何初步直线系方程

关键词：直线系方程高中数学教学随笔必修2解析几何授之以鱼，不如授之以渔。1直线系方程问题一、经过定点的直线系方程：经过定点),(00yxM的直线系方程：)(00xxkyy（k为参数）（但不包括直线0xx）特别：方程bkxy（k为参数，b为常数）表示过定点),0(b的直线系（不包括直线0x）例1、求过点)4,3(M，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。解法1：显然直线3x不符合题意，设所求的直线方程为)3(4xky（0k）令0x，得43ky；令0y，得kkx43；则kkk4343，即04732kk，∴11k，342k当1k时，01yx；当34k时，034yx，故所求直线方程为01yx或034yx。解法2：设直线在两坐标轴上的截距为a，若0a，则直线过)0,0(、)4,3(两点，即xy34；若0a，则设直线方程为ayx，即1yx；故所求直线方程为01yx或034yx。解法3：设所求直线方程为0CByAx，则00BA，，∴BCACCBA043，当0C时BA43，即034yx；当0C时CBA，即01yx；故所求直线方程为01yx或034yx。二、“平行”直线系方程：与直线0CByAx（022BA）平行的直线系方程：0ByAx（为参数，C）特别：方程bkxy（b为参数，k为常数）表示斜率为k的一族平行直线。例2、求与直线0143yx平行且过点)2,1(的直线l的方程。解法1：设与0143yx平行的直线l方程为043yx，则02413，∴11故所求直线方程为01143yx。界首一中2019年12月问题是思考的结果，是创造的开始。2解法2：∵直线0143yx的斜率为43，∴直线l的斜率为43，且过点)2,1(，则)1(432xy故所求直线方程为01143yx。三、“垂直”直线系方程：与直线0CByAx（0BA）垂直的直线系方程：0AyBx（为参数）特别：直线my与直线nx互相垂直。例3、求经过点)1,2(A，且与直线0102yx垂直的直线l的方程。解法1：设与0102yx垂直的直线l方程为02yx，则01221，∴0故所求直线方程为02yx。解法2：∵直线0102yx的斜率为2，∴直线l的斜率为21，且过点)1,2(，则)2(211xy，即所求直线方程为02yx。四、经过两已知直线的交点的直线系方程：经过两直线01111cybxal：和02222cybxal：交点的直线系方程：0)()(222111cybxacybxa（为参数）（其中不包括直线2l）。例4、求经过点)2,1(P和两直线011yxl：和010352yxl：的交点Q的直线方程。解法1：设过点Q的直线方程为0)1035()1(yxyx，∴0)102315()121(，解得94则0)1035(94)1(yxyx，即0312111yx又∵点)2,1(P不在010352yxl：上，∴直线2l不合题意故所求直线方程为0312111yx。解法2：由0103501yxyx得85813yx，即)85,813(Q∴所求直线过)2,1(P与)85,813(Q，故所求直线方程为0312111yx。