高中数学新课 立体几何 教案 (14)

课题：9．5空间向量及其运算(二)教学目的：⒈了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理及其应用．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量奎屯王新敞新疆注：⑴空间的一个平移就是一个向量奎屯王新敞新疆⑵向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量奎屯王新敞新疆⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示奎屯王新敞新疆2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）baABOAOB;baOBOABA;)(RaOP运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3．平行六面体：CBAObbbaaaC'B'A'D'DABC平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA奎屯王新敞新疆它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱奎屯王新敞新疆4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求．二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广．当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．2．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOPa．其中向量a叫做直线l的方向向量.由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平面向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可．推论证明如下：∵l//a∴对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得tAPa．(*)又∵对于空间任意一点O，有OAOPAP，∴tOAOPatOAOPa．①若在l上取ABa，则有ABtOAOP．(**)又∵OAOBAB∴)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(．②当21t时，)(21OBOAOP．③⑴表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．⑶推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．3．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量奎屯王新敞新疆说明：空间任意的两向量都是共面的奎屯王新敞新疆4．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb奎屯王新敞新疆证明：（充分性）设向量,ab不共线，p与向量,ab共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数,xy使pxayb奎屯王新敞新疆（必要性）设存在实数,xy使pxayb奎屯王新敞新疆取空间任意一点M，作,,','MAaMBbMAxaAPyb，则MPxaybp，于是点P在平面MAB内，向量p//平面MAB.即p与向量,ab共面.推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB①或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB②aaA'pbaOPABM或,(1)OPxOAyOBzOMxyz③上面①式叫做平面MAB的向量表达式奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1奎屯王新敞新疆已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件：122555OPOAOBOC，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？解：由题意：522OPOAOBOC，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，∴22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点P与,,ABC共面奎屯王新敞新疆说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算奎屯王新敞新疆例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD，（1）求证：四点,,,EFGH共面；（2）平面AC//平面EG．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB，又∵EGkAC，∴//,//EFABEGACOABCDHFGE所以，平面//AC平面EG．四、课堂练习：对空间任一点O和不共线的三点,,ABC，问满足向量式：OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的四点,,,PABC是否共面？解：∵(1)OPzyOAyOBzOC，∴()()OPOAyOBOAzOCOA，∴APyABzAC，∴点P与点,,ABC共面奎屯王新敞新疆五、小结：空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，都是平面向量相关知识的推广．向量平行于平面和直线平行于平面是不同的，要注意其共同点与不同点；共面向量定理中，条件的必要性实际上就是平面向量基本定理，该定理说的是三个向量共面的性质，它在空间中也成立；共面向量定理的推论通常用于解决四点共面问题．奎屯王新敞新疆六、课后作业：1．已知两个非零向量21,ee不共线，如果21ABee，2128ACee，2133ADee，求证：,,,ABCD共面奎屯王新敞新疆证明：∵21ABee，2128ACee，2133ADee，∴2133ADee215()ee21(28)ee5ABAC∴,,,ABCD共面奎屯王新敞新疆2．已知324,(1)82amnpbxmnyp，0a，若//ab，求实数,xy的值奎屯王新敞新疆解：∵//ab∴324[(1)82]mnpxmnyp∴(1)3,82,24xy∴13,8xy.3．如图，,,,EFGH分别为正方体1AC的棱11111111,,,ABADBCDC的中点，求证：（1）,,,EFDB四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．ABCDFEGHGHFEC1B1A1D1DABC4．已知,,,EFGH分别是空间四边形ABCD边,,,ABBCCDDA的中点，（1）用向量法证明：,,,EFGH四点共面；（2）用向量法证明：//BD平面EFGH．七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：