高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数

1高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：①正比例函数型：()fxcx()()(),(1)fxyfxfyfc.②指数函数型：()xfxa()()()()()(),(1,)0fxfxyfyfxyfxfyfa.③对数函数型：()logafxx()()(),()()(),()1(0,1)xffxfyyfxyfxfyfaaa.④幂函数型：()fxx()()(),(1)fxyfxfyf,()()()xfxfyfy.⑤三角函数型：()cosfxx,()singxx,()()()()()fxyfxfygxgy,0sin(0)1,lim1xxfx.()fxtanx,()()()1()()fxfyfxyfxfy.（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究．C14.大小比较常用方法：①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；②作商（常用于分数指数幂的代数式）；③分析法；④平方法；⑤分子（或分母）有理化；⑥利用函数的单调性；⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（2009江苏卷10）已知512a，函数()xfxa，若实数m、n满足()()fmfn，则m、n的大小关系为.mnD、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽D1.熟知几个重要函数1.()fxxbax(1)0,0ab时，()fx为“对勾函数”：①定义域：(,0)(0,)；值域为(,][,)bbaa；②奇偶性：奇函数（有对称中心）；yax2abbax(0,0)byaxabx2abbayO2③单调性：在区间(,],[,)bbaa上单调递增；在区间,[,0),(0]bbaa上单调递减.④极值：bxa时取到极大值，bxa时取到极小值.⑤记住()fxxbax(0,0)ab的图像的草图.⑥不等式性质：0x时，2()abfxxbax≥；0x时，2()abfxxbax≤.(2)0,0ab时，()fx在区间00,（，）（，）上为增函数.【思考】：图像大致如何分布.(3)常用地，当1ab时，()1fxxx的特殊性质略.【探究】：①函数()1fxxbax的图像变化趋势怎样？②22,nnbbfxaxfxaxnxxN的有关性质.2.(0,)axbycadbccxd化简为，axbycxdbaccdxc①定义域：(,)(,)ddcc；值域为ayc的一切实数；②奇偶性：不作讨论；③单调性：当0bc时，在区间(,],[,)ddcc上单调递增；当0bc时，在区间(,],[,)ddcc上单调递减.④对称中心是点(,)dacc；⑤两渐近线：直线dcx和直线acy；【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x的系数确定.⑥平移变换：(0,)axbycadbccxd可由反比例函数(0)bckyx图像经过平移得到；3.三次函数图像与性质初步*1.定义：形如)0(23adcxbxaxy的函数叫做三次函数.定义域为R,值域为R.*2.解析式：①一般式：32()(0)fxaxbxcxda；②零点式：123()()()()(0)fxaxxxxxxa*3.单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问x()fx()fx·0ky0kxyb(,)abO3题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.那三次函数32()(0)fxaxbxcxda的图像及性质，要从那里入手呢？再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.)0(23adcxbxaxy所以，2()32fxaxbxc，导函数对称轴3xab.【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.2412bac（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）（一）若24120bac令()0fx，由根与系数关系知：1223xxba，123xxca两极值点：aacbbxaacbbx33,332221（1）当0a，0b，0c，约定0d，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：（2）当0a，0b，0c时，拐点在y轴左边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；（3）当0a，0b，0c时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略（4）当0a，0b，0c时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略（二）若24120bac由212121224124()9bacxxxxxxa知：无极值点，拐点横坐标仍为3ab，所以图像如右图所示.yxOOxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·Oxy·4abab2xab2xabab2xabbaamb（,）abm（,）ab（,）amb（,）abm（,）ab（,）（三）若0即032acb时，0)('xf在R上恒成立，即)(xf在),(为增函数.x(-∞，ab3)ab3（ab3，+∞))('xf的符号+0+)(xf的单调性↗↗*4.极值：函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系(1)若230≤bac，则)(xf在R上无极值；(2)若032acb，则)(xf在R上有两个极值；且)(xf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数)0()(23adcxbxaxxf的图像与x轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？（联系函数的极值，进行等价转化）一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；三个交点：极大值大于零，极小值小于零.（2009江苏卷3）函数32()15336fxxxx的单调减区间为.(1,11)D2.几个重要图像1.yaxb（0ab）2.yaxb（0ab）3.yxaxb（0ab）4.yxaxb（0ab）5.xaybm6.xaybmblaBAMxyO(,0)bayaxbxyOyaxb5D3.函数)()()(xgxfxFy的零点处理：（1）)(xFy的零点（不是点而是数）()0Fx的根()yFx与x轴的交点的横坐标)(),(xgyxfy的交点问题.（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.（3）零点存在定理：)(xfy单调且端点值异号012(),xxx使0()0fx.【说明】：1.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根，与0)()(21kfkf不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内，等价于0)()(21kfkf，或0)(1kf且22211kkabk，或0)(2kf且22122kabkk.2.fx在,ab上连续，且0fafb，则fx在,ab上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.0fafb，fx在,ab上可能无零点也可能有无数个零点.3.零点的表示方法不能用有序实数对,0x.