高中数学选修2-21.2导数的计算(人教新课标)

退出目录1.2导数的计算退出目录课前预习导学退出目录目标导航学习目标重点难点1.会根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的导数;2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则;3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则,求简单函数的导数及简单复合函数的导数.重点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则;难点:复合函数的求导法则及其应用.退出目录预习导引1.几个常见函数的导数(1)函数y=f(x)=c的导数y'=0;(2)函数y=f(x)=x的导数y'=1;(3)函数y=f(x)=x2的导数y'=2x;(4)函数y=f(x)=1x的导数y'=-1x2;(5)函数y=f(x)=x的导数y'=12x.退出目录2.基本初等函数的导数公式原函数导函数(1)f(x)=c(c为常数)f'(x)=0(2)f(x)=xα(α∈Q*)f'(x)=αxα-1(3)f(x)=sinxf'(x)=cosx(4)f(x)=cosxf'(x)=-sinx(5)f(x)=axf'(x)=axlna(6)f(x)=exf'(x)=ex(7)f(x)=logaxf'(x)=1x𝑙𝑛a(8)f(x)=lnxf'(x)=1x退出目录预习交流1(1)思考:以下两个求导结果正确吗?为什么?①(3x)'=x·3x-1;②(x4)'=x4ln4.提示:这两个求导结果皆错.①中函数y=3x是指数函数,其导数应为(3x)'=3xln3;②中函数y=x4是幂函数,其导数为(x4)'=4x3.(2)做一做:求下列导数:①f(x)=x32;②f(x)=sin𝜋3;③f(x)=ln5.提示:①f'(x)=32x;②f'(x)=0;③f'(x)=0.退出目录3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).预习交流2思考:两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形?提示:能推广.容易证明:[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]'=f'1(x)+f'2(x)+…+f'n(x).退出目录4.复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系:y'x=y'u·u'x.退出目录预习交流3思考:如何求复合函数的导数?提示:复合函数求导的主要步骤是:(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;(2)求每一层基本初等函数的导数;(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.退出目录课堂合作探究退出目录问题导学一、利用公式求导数活动与探究1求下列函数的导数:(1)y=1x4;(2)y=log3x;(3)y=x45;(4)y=-2sinx21-2𝑐𝑜𝑠2𝑥4;(5)y=3lnx+ln1x2.思路分析:利用导数公式,必要时进行合理变形、化简,再求导.退出目录解:(1)y'=1x4'=(x-4)'=-4x-5=-4x5.(2)y'=(log3x)'=1xlog3e=1x𝑙𝑛3.(3)y'=(x45)'=(x45)'=45x-15.(4)∵y=-2sinx21-2𝑐𝑜𝑠2𝑥4=2sinx22𝑐𝑜𝑠2𝑥4-1=2sinx2cosx2=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.(5)∵y=3lnx+ln1x2=lnx3+ln1x2=lnx,∴y'=(lnx)'=1x.退出目录迁移与应用1.(2013福建厦门模拟)已知f(x)=1x3,则f'(1)等于()A.1B.-1C.3D.-3解析:∵f(x)=1x3=x-3,∴f'(x)=-3x-4.∴f'(1)=-3.答案:D退出目录2.给出下列命题:①y=ln2,则y'=12;②y=1x2,则y'|x=3=-227;③y=2x,则y'=2x·ln2;④y=log2x,则y'=1x𝑙𝑛2.其中正确命题的数目为()A.1B.2C.3D.4解析:①中y=ln2为常数,故y'=0,因此①错,其余均正确.答案:C退出目录(1)应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用的求导方法.(2)利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式.有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样能够简化运算过程.退出目录二、导数运算法则的应用活动与探究2求下列函数的导数:(1)y=cosx+12x;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y=x-1x+1;(4)y=𝑠𝑖𝑛x44+𝑐𝑜𝑠x44;(5)y=𝑐𝑜𝑠2x𝑠𝑖𝑛x+𝑐𝑜𝑠x;(6)y=xlnx.思路分析:对于较为复杂,不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数,可先对函数进行适当的变形与化简,然后,再运用相关的公式和法则求导.退出目录解:(1)y'=𝑐𝑜𝑠x+12𝑥'=-sinx+12xln12.(2)方法1:y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11;方法2:∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.退出目录(3)方法1:y'=x-1x+1'=(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'(x+1)2=x+1-(x-1)(x+1)2=2(x+1)2;方法2:∵y=x-1x+1=x+1-2x+1=1-2x+1,∴y'=1-2x+1'=-2x+1'=-2'(x+1)-2(x+1)'(x+1)2=2(x+1)2.退出目录(4)y=𝑠𝑖𝑛2𝑥4+𝑐𝑜𝑠2𝑥42-2sin2x4cos2x4=1-12sin2x2=1-12·1-𝑐𝑜𝑠x2=34+14cosx,∴y'=34+14𝑐𝑜𝑠x'=-14sinx.(5)y=𝑐𝑜𝑠2x𝑠𝑖𝑛x+𝑐𝑜𝑠x=𝑐𝑜𝑠2x-𝑠𝑖𝑛2x𝑠𝑖𝑛x+𝑐𝑜𝑠x=cosx-sinx,∴y'=(cosx-sinx)'=-sinx-cosx.(6)y=xlnx=12xlnx,∴y'=12(x)'·lnx+12x·(lnx)'=12lnx+12.退出目录迁移与应用1.函数y=sinx·cosx的导数是()A.cos2x+sin2xB.cos2xC.sin2xD.cosx·sinx解析:y'=(sinx)'·cosx+sinx·(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x.答案:B退出目录2.求下列函数的导数:(1)f(x)=2xx2+1;(2)f(x)=x2+sinx2cosx2;(3)f(x)=(x+2)1x-2.解:(1)f'(x)=2xx2+1'=(2x)'(x2+1)-2x(x2+1)'(x2+1)2=2-2x2(x2+1)2;退出目录(2)f'(x)=𝑥2+𝑠𝑖𝑛x2𝑐𝑜𝑠x2'=𝑥2+12𝑠𝑖𝑛x'=2x+12cosx;(3)f'(x)=(x+2)1x-2'=1-2x+2x-4'=-2x+2x-3'=-1x−x-32=-1x−1xx.退出目录(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分析函数y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简变形,再选择恰当的求导法则和导数公式求导.(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简,整理,然后再套用公式求导.退出目录三、求复合函数的导数活动与探究3求下列函数的导数:(1)f(x)=(-2x+1)2;(2)f(x)=ln(4x-1);(3)f(x)=23x+2;(4)f(x)=5x+4;(5)f(x)=sin3x+𝜋6;(6)f(x)=cos2x.思路分析:抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合函数求导法则.退出目录解:(1)设y=u2,u=-2x+1,则y'=y'u·u'x=2u·(-2)=-4(-2x+1)=8x-4.(2)设y=lnu,u=4x-1,则y'=y'u·u'x=1u·4=44x-1.(3)设y=2u,u=3x+2,则y'=y'u·u'x=2uln2·3=3ln2·23x+2.(4)设y=u,u=5x+4,则y'=y'u·u'x=12u·5=525x+4.(5)设y=sinu,u=3x+𝜋6,则y'=y'u·u'x=cosu·3=3cos3x+𝜋6.退出目录(6)方法1:设y=u2,u=cosx,则y'=y'u·u'x=2u·(-sinx)=-2cosx·sinx=-sin2x;方法2:因为f(x)=cos2x=1+𝑐𝑜𝑠2x2=12+12cos2x,所以f'(x)=12+12𝑐𝑜𝑠2x'=0+12·(-sin2x)·2=-sin2x.退出目录迁移与应用1.若f(x)=cos23x+𝜋3,则f'2𝜋9=.解析:由于f(x)=cos23x+𝜋3=12+12cos6x+2𝜋3,∴f'(x)=-12sin6x+2𝜋3·6=-3sin6x+2𝜋3,于是f'2𝜋9=-3sin6×2𝜋9+2𝜋3=-3sin2π=0.答案:0退出目录2.求下列函数的导数:(1)y=ln1x;(2)y=11-2x2.(1)解法一:设u=1x,y=lnu,则y'x=y'u·u'x=1u·-1x2=x-1x2=-1x.解法二:y=ln1x=-lnx,则y'=(-lnx)'=-1x.(2)解:设u=1-2x2,y=u-12,则y'x=y'u·u'x=-12u-32·(-4x)=-12(1-2x2)-32(-4x)=2x(1-2x2)-32=2x(1-2x2)1-2x2.退出目录求复合函数的导数时要注意以下三点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量;(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.如(sin2x)'=2cos2x,而(sin2x)'≠cos2x;(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin2x+𝜋3的导数,设y=sinu,u=2x+𝜋3,则y'x=y'u·u'x=2cosu=2cos2x+𝜋3.退出目录四、导数运算的应用活动与探究4已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.思路分析:本题主要考查导数的几何意义以及直线方程,三角形面积等知识,解决此题的关键是利用两直线垂直的条件,求出直线l2的斜率和切点,进而求出方程.要求所围成三角形的面积,需求出l1与l2的交点和l1,l2在x轴上的截距.退出目录解:(1)∵y'=2x+1,f'(1)=3,∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则直线l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b),即y=(2b+1)x-b2-2.∵l1⊥l2,∴3×(2b+1)=-1,b=-23.∴直线l2的方程为y=-13x-229.(2)解方程组y=3x-3,y