高中数学选修2-1新教学案2.1.2求曲线方程

2．1．2求曲线的方程（学案）【知识要点】1．坐标法；2．求曲线方程的方法与步骤；3．轨迹方程的求法．【学习要求】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第35页～第37页）1．由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1)；(2);(3)；(4)；(5)．3．两曲线有交点的充要条件是：．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB的方程是()．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x3)(C)6x+y-17=0(x≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()．(A)1yx(B)1yx(C)1yx(D)1yx．3.设BA,两点的坐标分别是7,3,1,1,则线段AB的垂直平分线的方程为：．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是)0,2(,0,2,3,0CBA,中线)(为原点OAO所在直线的方程是．5.已知方程222byax的曲线经过点35,0A和点,1,1B求ba,的值．【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2,一条曲线也在直线l的上方,它上面的每一个点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2（相关点法）动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3，O)连线的中点为P，求P点的轨迹方程，并指出点P的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC,C为直角，,求满足条件的点C的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(,1,3BA为，若点C满足OBOAOC，其中R,且1，求点C的轨迹方程．【自我测评】1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是()．(A)x2+y2=4(B)x2+y2=4(xO)(C)y=24x(D)y=24x（0x2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是()．(A)一条直线(B)一条直线去掉一点(C)一个点(D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l的动点P的轨迹方程是()．(A)x2+y2=3(B)x2+2xy=1(x≠±1)(C)y=21x(D)x2+y2=9(x≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC的面积为16，则C点的轨迹方程为．5．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，APB=60，则动点P的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C满足)(OAOBtOAOC，其中t∈R，则点C的轨迹方程是．7．经过定点)0(,abaA作互相垂直的两条直线1l和2l，分别与x轴、y轴交于CB,两点，求线段BC的中点M的轨迹方程．8．已知点M与x轴的距离和点M与点F(O，4)的距离相等，求点M的轨迹方程．9.已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．10．设P为曲线1422yx上一动点，O为坐标原点，M为线段PO的中点，求点M的轨迹方程．11．如图，已知F(1，O)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，FQFPQFQP，求动点P的轨迹方程．12．定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．1.(2006重庆)已知BA),0,21(是圆421:22yxF（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点的轨迹方程为：．2．（2005江苏）如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4。过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N为切点），使得PM=2PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．-1OxylF2．1．2求曲线的方程（教案）【教学目标】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．【重点】应用求轨迹方程的基本方法求轨迹方程．【难点】寻找等量关系并转化为方程．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第35页～第37页）1．由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意点的坐标；(2)写出适合条件p的点的集合)(MPMP;(3)用坐标表示条件)(MP，列出方程0),(yxf；(4)化方程0),(yxf为最简式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线有交点的充要条件是：两曲线的方程构成的方程组有解．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB的方程是(D)．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x3)(C)6x+y-17=0(x≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是(C)．(A)1yx(B)1yx(C)1yx(D)1yx．3.设BA,两点的坐标分别是7,3,1,1,则线段AB的垂直平分线的方程为：.072yx4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是)0,2(,0,2,3,0CBA,中线)(为原点OAO所在直线的方程是300yx．5.已知方程222byax的曲线经过点35,0A和点,1,1B求ba,的值．解：（待定系数法）222byax的曲线经过点35,0A和点,1,1B22352bab解得25322518ab．【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2,一条曲线也在直线l的上方,它上面的每一个点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．【审题要津】在建立坐标系时,一般应当充分利用已知条件中的定点定直线等,这样可使问题的几何性质得到更好的表示,从而使曲线方程的形式简单些．解：取直线l为x轴,过F点且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xoy．设点),(yxM是曲线上任意一点,作轴，xMB垂足为，B那么点),(yxM属于集合.2MB-MFMP由两点间距离公式,点),(yxM适合条件为:,2222yyx化简得:,22222yyx即.812xy因为曲线在直线l的上方,所以.0y故曲线方程为.0812xxy【方法总结】(1)利用基本五步求曲线方程时,一般要书写、第3步、第4步；（2）第1步中坐标系的建立是否恰当影响着计算的难易；（3）第2步中寻求等量关系是求曲线方程的关键；（4）第5步对求出的方程检验是否有增根或漏根必不可少．例2（相关点法）动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3，O)连线的中点为P，求P点的轨迹方程，并指出点P的轨迹．【审题要津】要求未知Pyx,点的轨迹方程，通过条件转化为已知的点M的坐标并得到yx,的等量关系．解：设Pyx,，则由M和定点B(3，O)连线的中点为Pyx,知Myx2,32，又动点M在曲线x2+y2=1上移动，123222yx．化简得：.412322yx其轨迹为：以0,23为圆心，21为半径的圆．【方法总结】（1）此题求轨迹方程的方法为相关点法，其中已知点M为未知点Pyx,的相关点；（2）将未知转化为已知是相关点法的关键；（3）对比轨迹与轨迹方程是不同．例3（定义法）已知直角三角形ABC,C为直角，,求满足条件的点C的轨迹方程．【审题要津】由直角三角形的性质易知，点C到AB的中点的距离为定值，可知点C的轨迹是以AB为直径的圆．解：因为直角三角形ABC,C为直角，所以点C到AB的中点的距离为斜边AB的一半．又因为)0,1()0,1(BA，所以,2AB故点C的轨迹是以AB为直径的圆．由)0,1()0,1(BA知圆心)0,0(o，半径.1,122yxr圆为又三点ABC构成三角形，可知,1x故点C的轨迹方程.1122xyx为【方法总结】（1）这里易知点C的轨迹是圆，可用待定系数法求解；也可直接利用C为直角得BCAC，直接法求解；（2）求解后，注意增根或漏根的检验．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(,1,3BA为，若点C满足OBOAOC，其中R,且1，求点C的轨迹方程．【审题要津】这里R,是辅助量，在化简中只有消去,才能得点),(yxC的等量关系．解：设点),(yxC，则)3,3()3,1()1,3(),(,yxOBOAOC，,33yx又1消去,得052yx．故点C的轨迹方程为052yx．【方法总结】,可视为参数，且,满足1，只要设法找到),(yxC的坐标与,间的关系，才能消去,得到点),(yxC的轨迹方程．【自我测评】1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是(D)．(A)x2+y2=4(B)x2+y2=4(xO)(C)y=24x(D)y=24x（0x2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是(D)．(A)一条直线(B)一条直线去掉一点(C)一个点(D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l的动点P的轨迹方程是(B)．(A)x2+y2=3(B)x2+2xy=1(x≠±1)(C)y=21x(D)x2+y2=9(x≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC的面积为16，则C点的轨迹方程为4y．5．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，APB=60，则动点P的轨迹方程为422yx．6．在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C满足)(OAOBtOAOC，其中t∈R，则点C的轨迹方程是22xy．7．经过定点)0(,abaA作互相垂直的两条直线1l和2l，分别与x轴、y轴交于CB,两点，求线段BC的中点M的轨迹方程．解：设动点M的坐标为yx,，则)2,0(,0,2yCxB．当2ax时，.2,2aybkxabkACAB,ACAB.122,1xaaybbkkACAB化简得.02222babyax当2ax时，显然满足上式，故所求轨迹方程为.02222babyax8．已知点M与x轴的距离和点M与点F(O，4)的距离相等，求点M的轨迹方程．解：设点Myx,，则,4022yxy化简得01682yx．故点M的轨迹方程为01682yx．9.已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．解:设曲线上任意点),(yxP,则21PAPO,即2103002222yxyx,化简得:03222yxx．故这条曲线的方程为03222yxx．10．设P为曲线1422yx上一动点，O为坐标原点，M为线段PO的中点，求点M的轨迹方程．