高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解

高中数学高考总复习直线方程与两条直线的位置关系习题及详解一、选择题1．(2010·崇文区)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y－2＝0与直线mx＋(2m＋2)y＋1＝0相互垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]m＝－2时，两直线－x＋y－2＝0、－2x－2y＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m＋1)＋2m＋2＝0，∴m＝－1或－2，故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0[答案]A[解析]解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.解法2：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.(理)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1B.12C．－12D．－1[答案]A[解析]y′＝2ax，在(1，a)处切线的斜率为k＝2a，因为与直线2x－y－6＝0平行，所以2a＝2，解得a＝1.3．点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是()A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－2,2)D．(2，－2)[答案]D[解析]一般解法：设对称点为(x，y)，则x－12－y＋12－1＝0y－1x＋1＝－1，解之得x＝2y＝－2，特殊解法：当直线l：Ax＋By＋C＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l的对称点B(x，y)的坐标，x＝－By0－CA，y＝－Ax0－CB.4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[－1,0]D．[－2,0][答案]D[解析]如图，要想使折叠后点O落在线段BC上，可取BC上任一点D作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合，故问题转化为在线段CB上任取一点D，求直线OD的斜率的取值范围问题，∵kOD≥kOB＝12，∴k＝－1kOD≥－2，且k0，又当折叠后O与C重合时，k＝0，∴－2≤k≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x－ay＋1＝0的两侧，则实数a的取值范围是()A．(－∞，10)B．(10，＋∞)C.－∞，43∪(10，＋∞)D.43，10[答案]D[解析]将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a＋1)(3－3a＋1)0，∴43a10，故选D.(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则整数a的值为()A．5B．－5C．4D．－4[答案]C[解析]由题意知(30－8a＋1)(15－4a＋5)0，∴318a5，又a为整数，∴a＝4.6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA→＝(1,3)、OB→＝(－3,1)(O为原点)在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率等于()A．1B.32C.12D.33[答案]C[解析]过原点作与直线l平行的直线l′，则OA→、OB→在l′上的射影也相等，故A、B到直线l′的距离相等，设l′：y＝kx，则|k－3|1＋k2＝|－3k－1|1＋k2，∴k＝－2或12，∵l的倾斜角为锐角，∴k＝12.[点评]设直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为a＝(1，k)，由OA→，OB→在a上射影的长度相等可得|a·OA→||a|＝|a·OB→||a|，可解出k.7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是()A．(16，－12)B．(8，－6)C．(4，－3)D．(－4,3)[答案]A[解析]线段AB的垂直平分线x＋y－2＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD的中点，所以得点D的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线l的方程是()A．x＋y＋1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x－y－1＝0[答案]B[解析]设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋b＝0，∵过圆心(－1,0)，∴b＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()A．－log20102009B．－1C．log20102009－1D．1[答案]B[解析]由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，xn＝nn＋1，∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log201012×23×34×…×20092010＝log201012010＝－1，故选B.9．(文)直线l过点(－2,0)，当l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，直线l的斜率k的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C.－24，24D.－18，18[答案]C[解析]由题意得，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l与圆相切时，可求得直线l的斜率k＝±24.所以直线l的斜率k的取值范围是－24，24.故选C.(理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点轨迹的方程为()A．3x－y－20＝0(x≠13)B．3x－y－10＝0(x≠13)C．3x－y－9＝0(x≠－8)D．3x－y－12＝0(x≠－8)[答案]A[解析]线段AC的中点M52，－2，设B(x，y)，则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在直线3x－y＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0.∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13.10．已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p，直线l在两坐标轴上的截距之和为q，且p比q大1，则这个三角形面积的最小值为()A．4B．2＋6C．4＋33D．5＋26[答案]D[解析]设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，则12ab＝a＋b＋1，∵a＋b≥2ab，∴12ab≥2ab＋1，即(ab)2－4ab－2≥0，解得ab≥2＋6，∴12ab≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a＝b＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋26.二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a＝(6,2)，b＝－4，12，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般方程为________．[答案]2x－3y－9＝0[解析]a＋2b＝(－2,3)，设l上任一点P(x，y)，则AP→＝(x－3，y＋1)，由条件知，(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x－3y－9＝0.12．(2010·浙江临安)设D是不等式组x＋2y≤102x＋y≥30≤x≤4y≥1所表示的平面区域，则区域D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．[答案]42[解析]画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y＝1与2x＋y＝3的交点(1,1)到直线x＋y＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为42.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝____”．[答案]－2[解析]由条件知a3＝2a－1，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3，当a＝3时，两直线重合不合题意，∴a＝－2.14．(文)实数x、y满足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，则yx的最大值、最小值分别为________．[答案]23，－1[解析]设k＝yx，则yx表示线段AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)．由图易知：kmax＝kOB＝23，kmin＝kOA＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案][0，π2)∪(2π3，π)[解析]由题意f′(x)＝a(x－1)2－3，∵a0，∴f′(x)≥－3，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤απ2或2π3απ.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．[解析]当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝2010＝2，∴此时直线方程为y＝2x；当10x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此进kAB＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y－20＝13(x－10)，即y＝13x＋503；当x40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x40时，k＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y＝－53x＋2903.令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y＝y＝2x，0≤x≤1013x＋503，10x≤40－53x＋2903，40x≤58.(理)已知矩形ABCD的两条对角线交于点M12，0，AB边所在直线的方程为3x－4y－4＝0.点N－1，13在AD所在直线上．(1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程；(2)已知点E－12，0，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点P的轨迹方程．[解析](1)∵AB所在直线的方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－43.又点N在直线AD上，∴直线AD的方程为y－13＝－43(x＋1)，即4x＋3y＋3＝0.由3x－4y－4＝04x＋3y＋3＝0，解得点A的坐标为(0，－1)．又两条对角线交于点M，∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心．而|MA|＝0－122＋－1－02＝52，∴外接圆的方程为x－122＋y2＝54.(2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝52，又|FM||EM|，∴P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵c＝12，a＝54，∴b2＝a2－c2＝516－14＝116.故动点P的轨迹方程是x2516＋y2116＝1.16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N12，1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．[解析](1)设M(x，y)，∵点M为l1与l2的交点，∴yx＋1＝kyx－1＝－2k(k≠0)，消去k得，y