高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(3)

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x－x,则x∈[0,1]上的最大值是（）A0B－41C21D412.若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A2米/秒B3米/秒C4米/秒D5米/秒3.曲线ｙ＝－313x－2在点（－1，35）处切线的倾斜角为（）Ａ30ºＢ45ºＣ135ºＤ150º4.函数y=－2x+3x的单调递减区间是（）A(－∞,－36)B(－36,36)C(－∞,－36)∪(36,+∞)D(36,+∞)5.过曲线ｙ＝3x＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）Ａｙ＝３ｘ＋３Ｂｙ＝3x＋３Ｃｙ＝-3x-31Ｄｙ＝-３ｘ-３6.曲线ｙ＝313x在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为Ａ30ºＢ45ºＣ60ºＤ90º7.已知函数)(xf=3x+a2x+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a、b的值分别为（）.A－3,2B－3,0C3,2D3,－48.已知)(xf=a3x+32x+2,若)1(/f=4,则a的值等于（）A319B310C316D3139.函数y=3x－12x+16在[－3,3]上的最大值、最小值分别是（）A6，0B32,0C25,6D32,1610.已知a0，函数ｙ＝3x-aｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值为（）A0B1C2D311.已知)(xf=23x-62x+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（）A-37B-29C-5D-1112.已知)(xf=x+3x,且x1+x20,x2+x30,x3+x10则（）Af(x1)+f(x2)+f(x3)0Bf(x1)+f(x2)+f(x3)0Cf(x1)+f(x2)+f(x3)=0Df(x1)+f(x2)+f(x3)符号不能确定.二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(xf上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f=__________.14.函数)(xf=3x－3x的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x－4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.16.函数)(xf=x(1－2x)在[0,1]上的最大值为__________.三、解答题17.已知函数)(xf=a4x+b2x+c的图像经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x－2.求)(xf的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0,x1x2)上两点A(x1,0),B(x2,0)的切线与x轴所成的锐角相等。12分19.已知)(xf=a3x+b2x+cx（a0）在x=±1时取得极值且f（1）=-1试求常数a、b、c的值并求极值。12分20.已知函数)(xf=1323xaxxa.（1）若)(xf在（－∞，+∞）上是增函数，求a的取值范围.(2)若)(xf在x=x1及x=x2(x1,x20)处有极值，且121xx≤5,求a的取值范围。12分21.已知函数)(xf=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足)(xf=－)(xf,当x=1时)(xf取得极值－2.(1)求)(xf的单调区间和极大值;(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式│)()(21xfxf│4恒成立.14分22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.xx（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积1V是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积2V1V14分答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13.114.[－1,1]15.2x－y+4=016.932提示：1.Af(1)=f(0)=0最大2.D∵S=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒3.选Ｃ∵)(/xf=－2x∴)1(/f=－1即tanα=－1∴α=135º4.选B∵y=－2+32x0,∴－36x365.C∵23xy∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－31(x+1)即Ｃ答案6.选Ｄ∵y=2x,y│x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90º7.A∵)(/xf=32x+2ax，切线的斜率k=3+2a，3+2a=-3∴a=-3又∵f（1）=a+b+1=0∴b=2，故选A8.选B∵)(/xf=3a2x+6x∴)1(/f=3a－6∴a=3109.选B∵y=32x－12,由y=0得x=±2当x=±2，x=±3时求得最大值32，最小值010.D∵)(/xf=32x－a，∴若)(xf为增函数，则)(/xf0即a32x要使a32x,x∈[1,+∞)，上恒成立，∴a≤3故选D11.A令)(/xf=0得x=0或x=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m显然f(0)f(2)f(－2)∴m=3最小值为f(－2)=－37故选A12.B∵)(/xf=32x+1,∴)(/xf0∴)(xf在上是增函数，且)(xf是奇函数，∴f(x1)f(－x2),f(x2)f(－x3),f(x3)f(－x1)∴f(x1)+f(x2)+f(x3)－[f(x1)+f(x2)+f(x3)]即f(x1)+f(x2)+f(x3)0故选B13.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知)1(/f=114.∵)(/xf=32x－3∴令32x－3≤0解得－1≤x≤115.∵y=6x－4∴k=y│x=1=2∴直线方程为y－2=2(x+1)即2x－y+4=016.∵)(xf=x－3x∴)(/xf=1－32x=0得x=33可知当x=33时函数值为最大值，最大值是93217.解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，)1(f=1，.…………..6分∴11241cbabac解之得29251bac.………….11分∴)(xf=1292524xx.…………..12分18.证明：∵y=a(x－x1)(x－x2)=ax2－a(x1+x2)x+ax1x2.…………..3分∴y=2ax－a(x1+x2).………….6分∴k1=y│x=x1=a(x1－x2)k2=y│x=x2=a(x2－x1).…………..9分设两切线与x轴所成锐角为θ1和θ2则tanθ1=│a(x1－x2)│=│a│(x2－x1)0,tanθ2=│a(x2－x1)│=│a│(x2－x1)0………11分∴tanθ1=tanθ2.…………..12分19.解：)(/xf=3a2x+2bx+c，.…………3分∵)(xf在x=±1时取得极值∴x=±1是)(/xf=0即3a2x+2bx+c=0的两根………6分∴)2(023)1(023cbacba∵f（1）=-1∴a+b+c=-1（3）由（1），（2），（3）得a=21，b=0，c=23………9分∴)(xf=213x23x，∴)(/xf=23（x–1）（x+1）当x-1或x1时，)(/xf0，当-1x1时，)(/xf0∴)(xf在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分∴当x=-1时函数取得极大值f（-1）=1当x=1时函数取得极小值f（1）=-1………12分20.解：(1)∵)(xf=ax2－2ax+1……………………………...….1分∴当a=0时，，)(xf=10,故结论成立………………………………2分当a0时,[)(xf]min=)1(f=1－a≥0,∴a≤1即0a≤1.…………..4分当a0时,)(xf在(0,+∞)上不恒大于或等于0，故舍去.…………..5分综上得a的取值范围是0≤a≤1.(2)令)(xf=ax2－2ax+1=0，由题知其二根为x1，x2且x1+x2=2，x1x2=a1…………..7分∵121xx≤5∴x1≤2－x2≤5x1∴31≤x11…………..9分∴x1(2－x2)=a1∴a1=－(x1－1)2+1…………..11分∴95≤a11∴1a≤59…………..12分21.解：（1）由)(xf=－)(xf(x∈R)得.d=0∴)(xf=ax3+cx,)(xf=ax2+c.…………2分由题设f(1)=－2为)(xf的极值,必有)1(f=0∴030caca解得a=1,c=－3∴)(xf=3x2－3=3(x－1)(x+1)从而)1(f=)1(f=0.…………4分当x∈(－∞,－1)时,)(xf0则)(xf在(－∞,－1)上是增函数;…………5分在x∈(－1,1)时,)(xf0则)(xf在(－1,1)上是减函数…………6分当x∈(1,+∞)时,)(xf0则)(xf在(1,+∞)上是增函数…………7分∴)1(f=2为极大值.…………9分(2)由(1)知,)(xf=xx33在[－1,1]上是减函数,且)(xf在[－1,1]上的最大值M=)1(f=2,在[－1,1]上的最小值m=f(2)=－2.…………12分对任意的x1,x2∈(－1,1),恒有│)()(21xfxf│M－m=2－(－2)=4…………14分.22.解：（1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的盒子的底面边长为4－2x，高为x.所以1V=(4－2x)2·x=4(3x－42x+4x),(0x2)………5分∴1V=4(32x－8x+4).………6分令1V=0得x1=32,x2=2（舍去）而1V=12(x－32)(x－2)又当x32时，1V0,当32x2时，1V0∴当x=32时盒子容积最大，最大容积1V是27128………9分方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子123411212321图a图b图c新焊成的盒子的容积2V为：3×2×1=6,显然2V1V故此方案符合要求。………14分