高数(1)试卷答案

《高等数学》答案第-1-页共7页内蒙古财经大学2014-2015学年第一学期期末考试高等数学(1)试卷(A)答案（计科、电商、信息、软件工程、金融工程、人文城规专业）一、选择题（每题3分，共计15分）1.B2.C3.A4.A5.D二、填空题（每题3分，共计15分）1.1,12.211x3.334.xxeCeCy3215.Cxx2cos2三、计算题（每小题6分，共48分）1.讨论函数21()211xxfxxx在1x处的的连续性与可导性。解：(1)f=1……………………….1分211lim()lim1xxfxx11lim()lim(21)1xxfxx……………………….3分()fx在x=1处连续'11()(1)211(1)=limlim211xxfxfxfxx-2'-11()(1)1(1)=limlim211xxfxfxfxx()fx在x=1处可导.……………………….6分2.求极限011lim()1xxxe解：解法一（用洛必达法则）00111lim()lim1(1)xxxxxexxexe……………………….1分《高等数学》答案第-2-页共7页=01lim(1)xxxxeexe……………………….3分=0limxxxxxeeexe=1/2……………………….6分解法二（利用等价无穷小量代换）00111lim()lim1(1)xxxxxexxexe……………………….1分=201limxxexx……………………….3分=01lim2xxex=01lim22xxx……………………….6分3．设21lim()01xxaxbx，求,ab解：原式=21(1)()lim1xxxaxbx=2(1)()lim1xaxxabbx=0……………………….2分由极限定义及已知，得10a且()0ab……………………….5分故1,1ab……………………….6分4．求不定积分222xdxax解：设设txsin，2t，则tdtdxcos……………………….1分原式=22sinatdt=21cos22tadt《高等数学》答案第-3-页共7页=22cos2(2)24aattdt……………………….4分=22sin224aattC=2222(arcsin)2axxaxaa+C……………………….6分5．求不定积分xdxexsin解：原式coscoscosxxxedxexexdx……………………….2分cossincossinsinxxxxxexedxexexexdx……………………….4分移项得112sincossin1sin(sincos)()22xxxxxexdxexexccexdxexxcc……………………….6分6．求不定积分2323xdxxx解：原式=3(1)(3)xdxxx……………………….1分=131()231dxxx……………………….3分=31ln3ln122xxC……………………….6分7．已知sin(12)xyx，求dy。解：法一：sinln(12)xxdyedx……………………….2分=sinln(12)2(cosln(12)sin)12xxexxxdxx……………………….6分法二：利用对数求导法。两边取对数，得《高等数学》答案第-4-页共7页lnsinln(12)yxx……………………….2分两边分别求导，得12sincosln(12)12dyxxxydxx……………………….4分所以2sin(cosln(12))12xdyyxxdxx=sin2sin(12)(cosln(12))12xxxxxdxx……………………….6分8．求微分方程24dyxyxdx的通解。解：法一：直接代入公式求解，其中()2,()4pxxqxx………….1分22(4)xdxxdxyexeC……………………….4分=22xCe……………………….6分法二：利用分离变量先求20dyxydx的解，即2xyCe………………….2分利用常数变易法，设2()xyCxe为原方程的特解，则……………………….3分22()2()xxyCxexeCx，将,yy代入原方程，得2()2xCxeC……………………….5分所以原方程的通解为22(2)xxyeeC=22xCe……………………….6分四、证明题（任选一题，若两题全做，按前一题为准）（共9分）1、证明当0ab时，不等式lnabaababb成立。证明：设ln,,,0yxxbaab且…………….2分则函数在,ba上连续，(,)ba上可导，满足拉格朗日中值定理，有()()()(),(,)fafbfabba……………….5分即1lnlnln()aababb……………….6分又1110,0,baabab，abababab《高等数学》答案第-5-页共7页lnabaababb成立。……………….9分2．对于任何的实数，证明不等式xex1成立。证明：令()1xfxex则()1xfxe，且(0)0f……………….2分当0x时，()10xfxe，所以()fx为单调增函数，0)0()(fxf，即()10xfxex，故1xex；……………….5分当0x时，()10xfxe，所以()fx为单调减函数，0)0()(fxf，即()10xfxex，故1xex；………………8分当0x时，显然等式成立。因此，对于任何的实数x,都有1xex成立.……………….9分五、综合题（13分）已知函数2(21)xyx的一阶导数、二阶导数分别为22(1)(21)xxyx,32(21)yx．1．确定此函数的单调区间、极值。(5分)单调递增区间为(,0)(1,)……………….2分单调递减区间为11(0,)(,1)22……………….2分极大值为(0)0f，极小值为(1)1f……………….1分2．确定此曲线的凸性区间、拐点.（4分）凸区间为1(,0)(0,)2……………….2分凹区间为1(,0)(0,)2……………….2分无拐点3．写出此函数的渐近线方程.（5分）由于212lim21xxx知曲线有垂直渐近线12x……………….2分《高等数学》答案第-6-页共7页2()1limlim(21)2xxfxxaxxx211lim()lim2124xxxbfxaxxx所以曲线有斜渐近线1124yx……………….5分高等数学（上）试卷第7页共7页