高数多元函数微分学.

第九章多元函数微分学第一节多元函数的概念、极限与连续一、多元函数的概念二、二元函数的极限与连续例1圆柱体的体积和它的底半径,高之间的关系为,其中、、是三个变量,当变量、在一定范围（，）内取定一对数值时,根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应.0r0h00,hrV2000Vrh1.引例Vrhhr2VrhVrh一、多元函数的概念2.二元函数的定义定义1设是三个变量.如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时,变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应,则称变量是变量的二元函数,记为其中称为自变量,称为因变量.自变量的取值范围称为函数的定义域．二元函数在点所取得的函数值记为，或zyx,,yx,zfzyx,),(yxfzyx,zyx,),(00yx00yyxxz),(00yxz),(00yxf例2设)sin(ln2xyxez),(),2,0(xyff21121)02sin(0ln)2,0(2ef求解)sin(ln),(2yxyexyf0P3.二元函数的定义域二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界;不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域．以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作．如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域．),(000yxP})()(),({2020yyxxyx),(0PU开区域如:}.41|),{(22yxyxxyo}.41|),{(22yxyx闭区域如:xyo例3求下列函数的定义域，并画出的图形．(1)解要使函数有意义，应有即定义域为有界开区域221lnyxz0122yx122yx}1),({22yxyxD（2）解：要使函数有意义，应有即定义域为无界闭区域)arcsin(yxz1yx11yx}11|),{(yxyxD设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为有序数组确定了空间一点,称点集),(yxP),(yxfzD),(yxfzzyx,,),,(zyxM}),(),,(),,({Dyxyxfzzyx为二元函数的图形.),(yxfz二元函数的图形通常是一张曲面.4.二元函数的几何意义当1．二元函数的极限邻域内有定义（点定义2设二元函数),(yxfz在点),(000yxP0P可以除外）,如果当点),(yxP沿任意路径趋于点),(000yxP时,函数),(yxf趋于常数,那么称为函数),(yxfz),(),(00yxyxAyxfyyxx),(lim00APfPP)(lim0的某一总无限AA时的极限，记为或二、二元函数的极限与连续说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。xyoP00PP例4求xyyxyx32lim．解65lim32xyyxyx例5求极限解:22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limyxu2uuusinlim0222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyx22200)sin(limyxyxyx例6证明不存在．证：,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．26300limyxyxyx确定极限不存在的方法：（1）令点),(yxP沿)(xhy趋向于),(000yxP极限值与)(xh有关,则),(yxf在点),(000yxP处极限不存在;，若（2）找出两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，则此时),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．2．二元函数的连续性定义3设函数),(yxfz在点),(000yxP的某一邻域内),(),(lim0000yxfyxfyyxx,则称函数),(yxf在点),(000yxP如果函数),(yxfz在区域D内每一点都连续,则),(yxf在区域D如果函数),(yxfz在点),(000yxP不连续，则称点000(,)Pxy是函数),(yxf的间断点.有定义.如果内连续.处连续.称函数)3,2(例7求xyyxyx32lim．解因为函数xyyxyxf),(是初等函数,且点65)3,2(lim32fxyyxyx在该函数的定义域内,故例8讨论函数)0,0(),(0)0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf的连续性．)0,0(),(yx时，),(yxf为初等函数,故函数在)0,0(),(yx点处连续.当解当),(yxf)0,0(),(yx220000lim),(limyxxyyxfyxyx不存在,所以函数在点)0,0(处不连续，即原点)0,0(是函数的间断点．时,由例5知3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．第二节偏导数一、偏导数二、高阶偏导数1.偏导数的定义．在点定义设函数),(yxfz),(00yx的某邻域内有定义,0yy,而x在0x取得增量x时,函数z相应取得),(),(0000yxfyxxfzx如果极限xyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000存在,),(yxfz在点),(00yx处对x,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或),(00yxfx增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数类似地,函数),(yxfz在点),(00yx处对yyyxfyyxfyzyyy),(),(limlim000000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或),(00yxfy偏导数定义为:的2.偏导数的求法例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解把y看成常数,得yxxz328231221yxxz把x看成常数,得yxyz237221321yxyz例2求函数yxyxfarctan,的偏导数．222111yxyyyxxz222211yxyyxyxyz解:例3设222zyxu,证明:2221uuuxyz证因为uxxuuyyuuzzu所以2222222221uuuxyzuxyzuu例4已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证:因为);1(,2VRTVPVRTP求证:;,PRTVPRTV;,RVPTRPVT所以PTTVVPRVPRVRT2PVRT=11PTTVVP偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．yzxz,例5求0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在点(0,0)处的偏导数.解:xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0xxxx00)(0lim220=00)0,0()0,0(lim)0,0(0yfyffyy注意:二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．3.偏导数的几何意义00,xfxy是曲面yxfz,与平面0yy的交线在点0000,,,yxfyx处的切线x轴的斜率.对00,yfxy是曲面yxfz,与平面0xx的交线在点0000,,,yxfyx处的切线y轴的斜率.对二、高阶偏导数),(yxfz函数(,)xzfxyx(,)yzfxyy它们都是的函数,yx,如果这两个函yx,的偏导数也存在,则称它们的偏导数),(yxf的二阶偏导数．数关于是的二个偏导数xxxxzyxfxzxzx,22xyxyzyxfyxzxzy,2yxyxzyxfxyzyzx,2yyyyzyxfyzyzy,22四个二阶偏导数类似地,可定义三阶、四阶以至阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数．nxzyz例6设z=x3y23xy3xy+1,解:;33322yyyxxz;9223xxyyxyz;6222xyxz;196222yyxxyz;196222yyxyxz.6233yxz;182322xyxyz22yz及,,,2222yxzxyzxz求33xz定理１如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导xyzyxz22,在区域D内连续,则对任何Dyx),(有xyzyxz22数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．例7设函数xyzarctan，求yxz2xyz2．解2222)(11yxyxyxyxz2221)(11yxxxxyyz2222222222222)()()20()()()1()(yxxyyxyyyxyxyyyxz22222222222221()(20)()()()zxxyxxyxyxxxyxyxy，一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用第三节全微分当边长当记称为函数,则面积,宽为一矩形金属片,长为xyxyzyx,分别有增量yx,时,面积的增量为()()zxxyyxyyxxyxyzxyz的全增量，22)()(yx0时,即0x,且0y时，yx是比高阶的无穷小.则yxxyz1、引例一、全微分的定义2.全微分的定义定义设函数),(yxfz),(yx),(yxfz),(yxz),(),(yxfyyxxfz)(oyBxA22)()(yxyBxA),(yxfz),(yx在点的某邻域内有定义,如果在点处的全增量可表示为其中,则称为函数在点处的全微分，记作dz由定义可知：(1)如果函数),(yxfz),(yx处的两个偏导数xzyz在点处可微，则在该点、必都存在．(2)函数),(yxfz在点),(yx处可微,则函数在点),(yx处连续．(3)自变量的增量等于自变量的微分，即d,dxxyy,则全微分又可记为dddzzzxyxy注:若z=f(x,y)在(x,y)处,z=f(x,y)在(x,y)处可微分.都存在,不能保证)0,0(Oyzxz、0)0,0()0,0(