高等数学(二)模拟题(开卷)

中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第1页（共5页）《高等数学（二）》模拟题（补）一．填空题1．设xyxyxfsin),(则(1,0)xf___0____,(1,0)yf__1_____．2．已知23(,)fxyxy,则dz_32223xydxxydy______．3.设}14|),{(22yxyxD，则Ddxdy2．4．dxyxfdyIyy),(10改变积分次序后，I=___210(,)xxIdxfxydy_________．5.设L是圆周：taytaxsin,cos,则曲线积分Lyx22ds=__22a______．6.dddVxyxyz=____2____,其中31,20,10:zyxV.7．若级数11nnu收敛，则nnulim1．8．幂级数1nnnx的收敛区间是(-1,1)．9．a=(1，-5，8)，b=(-1，-1，4)，则||ab=6．10．函数1zxy的间断点是0xy．11．210(,)yyIdyfxydx改变积分次序后，I=__10(,)xxIdxfxydy__________．12.设L是圆周：cos,sinxtyt,则曲线积分22()Lxyds=__2______．13．若级数121nnu收敛，则nnulim12．14．幂级数1(1)nnnxn的收敛区间是(-1,1)．二．单项选择题1．函数yxz2ln的定义域是（A）。A．}|),{(2yxyxB．}|),{(2yxyxC．}|),{(2yxyxD．}|),{(2yxyx中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第2页（共5页）2．下列与向量(2,3,5)垂直的平面方程是（C）。A235xyzB1235xyzC2351xyzD都不对3．将极坐标系下的二次积分drrrfrdIsin200)sin,cos(化为直角坐标系下的二次积分，则I（D）。A．11111122),(yydxyxfdyB．11111122),(xxdyyxfdxC．112222),(yyyydxyxfdyD．202222),(xxxxdyyxfdx4．若L是平面内一闭区域D的正向边界曲线，则曲线积分Lxydyxdxxe2等于二重积分（B）。A．Dxydxex)2(2B．Dxydexx)2(2C．Dxyxydexe)(2D．Dxyxydexe)(25．函数),(yxfz在点),(00yx处连续是函数在该点处可导的（D）。A．充分但不必要条件；B．必要但不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．6．级数nnn1)1(11敛散性是（B）A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．以上都不对三．计算题1．求由方程12333xyzzyx所确定的隐函数),(yxfz的偏导数xz和yz。解：令012,,333xyzzyxzyxF,则yzxFx232，xzyFy232，xyzFz232.所以xyzyzxFFxzzx232322,xyzxzyFFyzzy232322.2.求二重积分Ddxdyyx22sin,其中}|),{(222yxyxD。中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第3页（共5页）解：区域}|),{(222yxyxD.采用为极坐标，令cossinxryr，dxdyrdrd，极点在区域内，01r，02,故22sinDxydxdy=200sindrrdr=200[sin]dr=2202d．3.判定级数112tannnn的敛散性。解：211(1)tan2limlimtan2nnnnnnnuun=2121tan1122lim()2tan22nnnnnnn=121(重要极限0tanlim1xxx)由比值判别法，级数收敛。4．设)arctan(uvuz，2xu，yxev，求解：zzuzvxuxvxyevuuxvuuvuv22222121arctan34362622arctan11yyyyyxexxxeexexezzuzvyuyvy22222arctan011yuvuuvxeuvuv5621yyxexe四．应用题1．已知平面过点)0,2,1(P且与直线011111zyx和0111zyx都平行，试求此平面方程。解：两已知直线的方向向量分别为01101121，，，，，vv，平面与直线平行，则平中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第4页（共5页）面的法向量CBAa，，与直线的方向向量垂直由a⊥1v，有00BA（1）由a⊥2v，有00BA（2）联立（1），（2）求得0,0BA,只有0C又因为平面经过点021，，P，代入平面一般方程得00C2010D所以0D故所求平面方程0Cz，即0z，也就是xoy平面。2．求由曲面222zxy,柱面221xy及0z所围的曲顶柱体的体积。解:2242122210001()242xyrVxyddrrdr3．求过点(3,2,5)且与平面34zx和13zyx都平行直线方程。解：与两平面平行的直线与这两个平面的法向量垂直，则直线的方向向量垂直于这两平面法向量所确定的平面，即直线的方向向量可取为kjikjinnv13411340121,又直线过已知点)25,3(,故直线方程为1513243zyx．4．在半径为r的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大？解：设此内接长方体的长、宽、高分别为zyx2,2,2，则体积为xyzV8，定义域为rzryrx0,0,0，限制条件为球面方程2222rzyx（1）构造拉格朗日函数2228,,,ryxxyzzyxL中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第5页（共5页）令)4(028)3(028)2(028zxyLyxzLxyzLxyx则有zxyyxzxyz444.所以4zyx,代入限制条件（1）式得2243r，22316r，因为0,0,0zyx，故取r34所以rzyx31，rzyx32222.由题意知，此时长方体的体积最大，所以长、宽、高均为r332的，体积最大，最大值为3938r。五．证明题1.设222zyxu,求证：1)()()(222zuyuxu证明:222222222,,uxuyuzxyzxyzxyzxyz