隐函数和参数方程求导法.

§3隐函数和参数方程求导法隐函数求导参数方程求导导数的简单应用一.隐函数求导定义:.)(0),(为隐函数称所确定的函数由方程xyyyxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导..)0(sin)(sin.3),()0(.20sin:.1cos000222的导数求的切线方程；导数，并求它在所确定的隐函数求；xxyyxMRRyxyxyequationKeplerx例注意：。求导式充分简化表达式两端求导时，始终.2);(.1xyy1)对幂指函数vuy可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uvlnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb又如,))(())((4321xxxxyuuu)ln(21yln对x求导21yy41312111xxxx两边取对数21xxlnln43xxlnln11x21x31x41x对数求导法则：从显函数求导数比较复杂或不好求，可以化为隐函数求导，常用的方法是两边取对数，再求导。隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例4.解:]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设的导数；求由方程确定的隐函数例yyxxy,5.解:两边取对数，yxxylnln再求导yyxyxyxylnln.)ln()ln(xxyxyyxyy的二阶导数。所确定的隐函数求由方程例)(.6arctanxyyyxexy122解:将方程化为：xyeyxarctan2222222yxyyx2211xyyxxyexy)(arctan22yxyyxx两端对求导222xyyxyxyxyxy)(1yyxyyx求导：式两端关于再对x)(1yxyyy21代入上式有：将yxyxy.)()(3222yxyxy二.参数函数求导法则.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx由复合函数及反函数的求导法则得。dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(tt),()().(),(1xttxtytx的反函数为设代表平面上一条曲线，)(严格单调，连续导法则并且设它满足反函数求1(),(),yyttx于是看做复合函数则有；，求例dxdytytx)ln(arcsin.211解：dxdy)()(txty221112ttt22112ttt2222.(01)sin1();xtttyydyyyxdx例设由方程确定函数，求解:方程组两边对t求导,得故xydd)cos)((ytt11tyddtxddt2yttycosdd1222tycostydd0)(dd12ttxtyddtxdd；求，可导，且，其中例030)0()1()(.3ttdxdyffefytfxdxdy)()(tfeeftt31330tdxdy)()(003ff解：3;,)()(4.22dxydtytx求例dxdy)()(tt22dxyddxdydxd解：)()(ttdxddxdtttdtd)()()()()()()()(tttttt21)()()()()(ttttt3已知注意:).cos1(),sin(tayttax如.y求dxdyttcos1sin2sin22cos2sin22ttt2cott22dxyddtdxdxdydtd)(例5解:.)2(;)1(,21sin,cos,,,002000的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻求其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力ttgttvytvxvxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在tt)cos()21sin(020tvgttvdxdycossin00vgtv.cossin0000vgtvdxdytt轴方向的分速度为时刻沿炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxvcos0v00)21sin(20ttttygttvdtdyv00singtv时刻炮弹的速度为在0t22yxvvv2020020sin2tggtvv三.由极坐标确定的函数求导.),(dxdy求曲线方程为.sin)(,cos)(yx：关系给出曲线参数方程利用直角坐标与极坐标然后利用参数方程求导法则。例.求螺线在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程sincosryrxxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),(20M∴切线方程为22xy四.导数的简单应用1.切线与法线问题1.sin24a例求曲线在处的切线方成与法线方程；极坐标方程参数方程解:极坐标化为参数方程：sinsinsin)(cossincos)(22ayax为参数，切线斜率为4222222cossincoscoscossinsincosaaaadxdy1法线斜率为1，ayax224224)(,)(切点为法线方程为:axay2222.0yx即2.1xy例证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数；证明:.,出面积轴上的截距，即可求求出切线方程及它在yx),,(111yxxy上一点任取)(12111xxxyy切线方程为：2110xyxx过该点的切线斜率为)(11211xyxxy，即轴上的截距乘以所求面积为切线在21,yxXY21))((112111121xyxxy))((11211111yxxyx211121)(yx2轴上的截距为：切线在yx,.1),1(111121xyYxyxX恒为常数；切线长交点至切点的距离轴的上任一点处的切线与证明曲线)()0,0(sin)cos2tan(ln.3xtatayttax证明:，过该点的切线方程为设曲线上任一点),(11yx))(()()()(txxtxtytyy1111:,轴交点的坐标为得到切线与令xy0))()(())()((txxtytyytx1111)()()()()(tytytxtytxx0)()(11tydydxtx)(tx,sincostta201111cotcosxxytxat,cos)(taty)())((tyxtxd212011222111tatatxtxsin)cos)()((a.tantdxdy为两可导函数之间有联系之间也有联系相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率2.相对变化率问题.两个相互依赖的变化率称为相关变化率12cm18cmhrH10cm例.有装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为12cm，深18cm，下接直径为10cm的圆柱形水桶，当漏斗水深为12cm时，水平面下降的速率为1cm/s，试求此时水桶的水平面上升的速率。解：.,,的函数均为时间如图所示，tHhr186hr.hr31即水桶的水全部由漏斗注入,得关系式)()()(thtrtH22231186315)()(thtH39164875))()(()(ththtH231751，得代入112)(,)(thth)(tH753122)/(scm2516因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).Hw:p1101(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12,16,17.p1196(2,4,6),7(2,4),8,11,12.隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.小结