集合与函数的概念复习.

第一章章末归纳总结集合集合含义与表示基本关系基本运算交集并集补集包含相等列举法描述法知识结构集合的含义与表示2.集合：把一些元素组成的叫做集合（简称为集）,通常用表示.研究对象总体小写拉丁字母a,b,c…大写拉丁字母A,B,C…3.集合中元素的特征:.确定性、互异性、无序性4.集合相等：只要构成两个集合的元素是,我们就称这两个集合是.一样的相等的1.元素：一般地,我们把统称为元素,通常用表示.a属于集合A，记作a∈Aa不属于集合A，记作a∈/A5.元素与集合的关系：集合中元素的特性及其应用例1：若一个集合中含有三个元素0，x²+2x,x+2。求x满足的条件。（p2).a3},3aa,1)(a2,{a1222的值求实数】已知【例注意元素的互异性133,111222aaaa或），或（解：由题意0,2,1aaa或或解得.133212aaaaa互异性，故，不符合元素的时，当.0.1aa故同理总结：集合中的元素具有确定性，互异性，无序性，在解含有参数的集合的问题时，要注意解题后的代入检验.自然数集（非负整数集）：记作正整数集：记作或整数集：记作有理数集：记作实数集：记作N*N+NZQR6.常用数集及表示符号1、列举法：把集合中的元素出来，并放在{}内2、描述法：用文字或公式等描述出元素的，并放在{x|}内3.图示法：Venn图4.自然语言(二)集合的表示一一列举共同特征例3：若方程ax²+bx+1=0的解集与集合A中的元素为1、2，求a,b的值。(p4)二、集合间的基本关系都是集合B的元素，我们称A为B的子集.3.集合相等：ABBAAB且4.空集：2n2n-12n-22.真子集：.的真子集是集合集合BA记作：AB,AxBxBA，且，但存在元素如果集合5.若集合中元素有n个，则其子集个数为真子集个数为非空真子集个数为ABBA记作：或1.子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3121112,121325-2B2BAaaaaaaaaaa的取值范围综上所述，时，有当即，有当，解：.A,B},121|{B},52|{A4的取值范围求实数】已知【例aaxaxxx三、集合的并集、交集、全集、补集}|{1BxAxxBA或、2{|}ABxxAxB、且}|{3AxUxxACU且、全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示AB（1）A∪A=（4）A∪∅=∅∪A=（2）A∩A=（3）A∩∅=∅∩A=（6）A(A∪B),B(A∪B)（5）(A∩B)(A∪B)（8）A∪BB∪A,A∩BB∩A.（7）A∩B=A⟺；A∪B=A⟺.并集、交集的性质：AA∅A⊆⊆⊆==A⊆BB⊆A补集的性质：A∪(∁UA)=；A∩(∁UA)＝；∁U(∁UA)＝；∁U(A∩B)＝；∁U(A∪B)＝．UØA(∁UA)∪(∁UB)(∁UA)∩(∁UB)3.注意空集的特殊性.a}012|{32的取值范围真子集，求至多有一个，】已知集合【例RaxaxxA.004-4,0012,2aaaxaxxAA解得且无实数解，则的方程无真子集，这时关于则集合解：若可分两种情况：中仅有一个元素集合恰有一个真子集，这时若集合AA21,01201xxa时，方程为）（1,04-402aaa时，则）（0}a1,a|{a或范围为的取值实数至多有一个真子集时，综上，当集合aA题型集合实际应用例6：向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是30，其余的不赞成，赞成B的人数是33，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各多少人？分析：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系的联系解：A30B3350AABB.21赞成的人数为，赞成的人数为，如上图，记名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合；赞成事件的学生全体为集合设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生x人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数3x为33-x.依题意（30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=213所以对A、B都赞成的同学有8人，都不赞成的有人.方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借助于Venn图，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来设A,B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：函数的概念：数集任意一个数x唯一确定的数f(x)BAf:Axxfy),(其中,x叫做，A叫做函数的定义域，与x相对应的y值叫做,函数值的集合叫做函数的值域.值域是集合B的子集.自变量x的取值范围函数值Axxf)(（1）函数的三要素：.定义域、对应关系、值域3.函数三种表示法:解析法；列表法；图象法。知识探究（二）区间思考1：设a，b是两个实数，且ab，介于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？bxabxabxabxa,,,[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，a]，(-∞，a).思考2：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R？（-∞，+∞）我们可以把满足的实数x的集合分别表示为axaxaxax,,,上述知识内容总结成下表：这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.ababab数轴表示定义符号名称[a,b]闭区间(a,b)[a,b)开区间半开半闭区间半开半闭区间{x|a≤x≤b}{x|axb}{x|a≤xb}{x|ax≤b}(a,b]ab例1判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数(1)A=R,B=(0,+),xA,对应法则f:x|x|(2),{|1},,22ARByyRyxAx2且对应法则f:xy=x解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应.()2..是函数满足函数的概念269[,](3)9,7,,.xxxababab2例函数f()=-在区间有最大值最小值求的值:开口方向,注意对称轴的位置解:对称轴x=3()[,]fxab函数在上是增函数22697699aabbab2,0ab例题讲解1.求函数的定义域应注意：（2）f(x)是分式，则分母不为0；（1）f(x)是整式，则定义域是R；（3）偶次方根的被开方数非负；0x(4)若f(x)=,则定义域}0|{xRx（5）表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.011xyxx211yxx定义域.),0(12的值域求例Rxacbxaxy配方法解：cxabxay)(2abcabxabxa4])2([22abcabxa4)2(22abacabxa44)2(22}44|{440122abacyyabacya值域为时，）当（}44|{440122abacyyabacya值域为时，）当（求值域的方法.13值域求例xy解：0x由题知定义域为0x1y}1|{yy所以值域为观察法通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.29xy练一练由知及09022xx]3,0[-92x]3,0[故所求的值域为解：.1)(4的值域求例xxxf解：分离常数法111111)(xxxxf1x定义域为111-1x011x}1,|{yRyy且所以值域为}|{acyRybaxbcxy的形式的值域为形如例7求函数的值域)1(21xxxy解：，解出由xxxy21)1(112yyyx得1112,1yyx所以而012yy即12-y所以），故所求函数的值域1-2[反表示法)25(3252xxxy求例解：配方，画简图4)1(2xy125yx时，当，由图知时，当32yx-12-5-23-1]3,12[}312|{或函数的值域为yy增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的三、函数单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数的增区间。3.最大(小)值的定义:设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x)的最大(小)值.)(或例5画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以证明.解作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.所以f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),O12x21543yy=3x+2任取x1,x2∈R,设x1x2,取值作差变形定号21xx021xx证明:判断下结论四、函数的奇偶性1.奇函数:对任意的,都有Ix)()(xfxf)()(xfxf2.偶函数:对任意的,都有Ix3.奇函数和偶函数的必要条件:注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域是否关于原点对称!定义域关于原点对称.奇(偶)函数的一些特征1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上单调性一致。3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上单调性相反。()(()2253(),(2)331,.2)(),1,.pxfxfxqpqfx例已知函数是奇函数且求实数的值判断函数在上的单调性并加以证明解:(1)函数f(x)为奇函数()()fxfx222233pxpxxqxq0q425(2)263pfp222(2)()3xfxx21x1设x22121212112()()()3xxfxfxxx12121212()3xxxxxx12120,1xxxx则12()()fxfx((),1).fx即函数在上是增函数0例题讲解()4()fx例若函数是定义在R上的偶函数,且在-,0上是增函数,并且22(21)(321),.faafaaa求实数的取值范围():解由条件知f(x)在0,+上是减函数22221811212()0,3213()04733aaaaaa而2222(21)(321)21321faafaaaaaa由230aa03a例题讲解()1.()(),fxgx下面四组中的函数与表示同一个函数的是2.(),()()Afxxgxx2.(),()Bfxxgxx33.(),()Cfxxgxx2.()|1|,()|1|DfxxgxxC2.1yax求函数在[0,2]上的最值.0,21,1;0,1,21:0,1ayaayaay当时的最大值为最小值为当时的最大值为最小值为当时3.3|1|.yx求函数的单调增区间)[1,24.()[1,1],(1)(1)0,.fxfafaa若奇函数是定义在上的减函数且求的取值范围12a练习21135.()[,]2,2,22fxxabab若函数在区间上的最小值为最大值为求区间[a,b].:(1)0ab解若(