非线性动力学-5.

非线性动力学姚宝恒上海交通大学船舶海洋与建工学院BeyondPerturbationIntroductiontoHomotopyAnalysisMethodOutline•ConceptofHomotopyinTopology•BasicideasofHomotopyAnalysismethod•Examples•Applicationsofthetheoryinsolvingnonlinearequations•Conclusions•References“摄动方法”的本质：应用方程中的小（大）物理参数，将一个非线性问题转化为无穷多个线性子问题。优点：物理意义明确；简单、易懂；缺点:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参数时使得摄动展开法面临困难(2)摄动展开解只在参数比较小的情况下能够给出较好的近似,随着“小参数”的增大,近似解精度下降,以致失效。(3)无法确保解的收敛怎样的近似解析方法才是最理想的？•不依赖小参数•确保解的收敛性，适用于强非线性问题拓扑学中的几个基本概念•拓扑和拓扑空间如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑。具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。同伦的基本概念•两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。•同伦的定义设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射，即f：X→Y，g：X→Y，如果存在连续映射H：X×Ｉ→Y（这里Ｉ=[0,1]），使得对任何x∈X，满足：则称f和g是同伦的,称H是由f到g的一个同伦或伦移,即H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，同伦是关于映射的等价关系f（x）=H（x,0）g（x）=H（x,1）H（x,q）示意图~Hfg二、“同伦分析方法”简述拓扑理论传统的同伦概念：其中，q为嵌入变量.易知，q=0时，H(x;0)=f(x);q=1时，H(x;1)=g(x).因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函数H(x,q)从f(x)连续变化到g(x).这样，H(x,t)建立起从f(x)到和g(x)之间的联系.在拓扑(topology)〕理论中，这种连续的变化称为同伦(homotopy)，表示为)()()1(),(tGqtFqqtH(,):~Hxqfg•Liao提出“广义同伦”之概念：)()()1(),(tGqtFqqtH(,)()()()()HtqAqFtBqGtBasicideasofHAM•E1.非线性代数方程f(x)=0.(构造同伦)设为已知的初始猜测解,嵌入变量为一未知的嵌入变量的函数,我们构造如下的一个单参数的非线性代数方程:(1)当时,上述方程为线性方程即0x[0,1],p()Xp[0,1]p0(1)(())()(),pfXpfxpfXp0p0(0)Xx0((0))()0,fXfx当时,方程(1)变为1p(1)0fX则,就是原非线性方程f(x)=0的解.(1)Xx因此,当嵌入变量从0变化到1时,从初始猜测解变化到非线性代数方程解,因此方程(1)构造了一个的同伦.()Xp0x0~xxpx设存在无穷阶导数()Xp[]00()mmmpXpxp根据Taylor定理,有[]01()(0)!kkkxXpXpk则[]001!kkxxxk如何求?[]0kx(2)将(1)式对p求一阶导数0(1)()1(1)()dfdXfXpfxdXdp(3)令得0p'[1]000()()fxxfx[1]00'0()()fxxfx则将(3)式对p再求一次导数222222(1)[1(1)]0dfdXdfdXdfdXpdXdpdXdpdXdp(4)(5)令得0p[2][1][1]2000000()2(1)()()()fxxfxxfxx(6)[1][1]2[2]0000002(1)()()()()fxxfxxxfx类似地，可以求得k阶变形导数，则[]0kx[]001!kkxxxk一阶近似公式为00'0()()fxxxfx（时为牛顿迭代公式）1E2.非线性微分方程whereisanonlinearoperator,denotesindependentvariable,isanunknownfunction,respectively.()0uN0(1)(,)()()(,),ppupHp/LNN()u(1)Constructzero-orderdeformationequationWhere∈[0,1]istheembeddingparameter,isanonzeroauxiliaryparameter,isanauxiliaryfunction,isanauxiliarylinearoperator,isaninitialguessof,isaunknownfunction,respectively.p()HL0()u()u(,)p[0]0L(7)Obviously,whenp=0andp=1,itholds0(,0)(),u(,1)().uThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.p(,)p0()u()uExpandinginTaylorserieswithrespectto,onehas(,)pp01(,)()()mmmpuupwhere01(,)()!mmmppump(8)Iftheauxiliarylinearoperator,theinitialguess,theauxiliaryparameter,andtheauxiliaryfunctionaresoproperlychosen,theseries(8)convergesat,onehas1p1()HL0()u01()()(),mmuuuwhichmustbeoneofsolutionsoforiginalnonlinearequation.Asand,Eq(7)becomes()1H0(1)(,)()(,)0,ppupp/LN(9)whichisusedmostlyinthehomotopyanalysismethod.(2)Constructmth-orderdeformationequationDifferentiatingEq.(7)mtimeswithrespecttotheembeddingparameterpandthensettingp=0andfinallydividingthembym!,wehavetheso-calledmth-orderdeformationequationDefinethevector01(),(),,()nnuuuu线性方程(10)？？01(,)()()mmmpuupItshouldbeemphasizedthatform≥1isgovernedbythelinearequation(10)withthelinearboundaryconditionsthatcomefromoriginalproblem,whichcanbeeasilysolvedbysymboliccomputationsoftwaresuchasMapleandMathematica.()muE3.非线性微分方程求解(1)0,(0)1duuuudAccordingtothegoverningequationandtheinitialcondition(11),thesolutioncanbeexpressedbyasetofbasefunctions(11)e1,2,3,,nnintheform1()e,nnnudwhereisacoefficienttobedetermined，Thisprovidesuswiththeso-calledruleofsolutionexpression,i.e.,thesolutionof(11)mustbeexpressedinthesameformas(12)andtheotherexpressionssuchasmustbeavoided.nd(12)emnAccordingto(11)and(12),wechoosethelinearoperator(,)(,)(,),ppp/Lwiththeproperty10.ce/LWhereisconstant.1cFrom(11),wedefineanonlinearoperator(,)(,)(1(,))(,),pppp/NAccordingto(11)andtheruleofsolutionexpression(12),itisstraightforwardthattheinitialapproximationshouldbeintheform0(),ue(1)Constructzero-orderdeformationequation0(1)(,)()()(,),ppupHp/LNThusasincreasesfrom0to1,thesolutionvariesfromtheinitialguesstothesolution.p(,)p0()u()u(2)Constructmth-orderdeformationequation01(,)()()mmmpuup(,)(,)(1(,))(,),pppp/N最后得到ruleofcoefficientergodicity，H（τ）=1得到一族解，通过调节级数收敛二、“同伦分析方法”简述“同伦分析方法”特点•毋须任何小参数，可将一个非线性问题转化为无穷多个线性问题！•可自由选取辅助线性算子、初始近似:——线性子问题中的线性算子毋须与原始非线性方程中的线性算子相同或密切相关！二、“同伦分析方法”简述初步形成一个较为完整的理论体系（1）提出三个原则:•解表达原则（Ruleofsolutionexpression）•解存在原则（Ruleofsolutionexistence）•完备性原则（Ruleofcoefficientergodicity）指导辅助线性算子、初始近似、辅助函数之选取（2）证明了“收敛性定理”同伦分析方法之优点不同于摄动方法，“同伦分析方法”不依赖于小参数的存在，因而适用范围更广；不同于所有其它分析方法，“同伦分析方法”本身提供了一种简单的方法调节或控制解析解级数的收敛区域；“同伦分析方法”提供选择不同基函数之自由，从而能更有效地表达非线性问题的解。二、“同伦分析方法”简述广泛应用（1992年-2002年）•非线性波浪问题•边界层流动和热传导问题•非线性振动问题•极限环问题•圆球黏性阻力（Navier-Stokes方程）•物理、生物及宇宙学方面的非线性问题证明“同伦分析方法”之有效性和潜力(1)不依赖小参数二阶近似在整个区间内的最大误差仅为0.48%3''0,(0)1,'(0)0uuuu0求解范例同伦分析方法之优点10-210-1100101102ReynoldsNumber100101102103DragCoefficientStokes(1851)Proudman&Pearson(1957)Chester&Breach(1969)Oseen(1910)VanDy