飞机存储隔间最优化问题

飞机存储隔间最优化问题摘要本文研究某航空公司空运存储在飞机存储隔间的货物问题，为了充分利用飞机存储隔间，来运三种重量及体积不同的货物。为了给航空公司提供一种最优方案，本文本着为航空公司设计一种最大限度使用飞机存储隔间体积的原则，以空运三种货物的年总收入的最大值为目标函数。运用线性规划的相关知识，建立相应的数学模型，并通过Matlab和Lingo软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。再对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。并以此作为公司对三种货物运输安排方式。关键词：线性规划、Lingo的软件应用、Lagrange乘子法、影子价格、灵敏度分析一、问题的重述考虑一个航运公司空运存储在飞机存储隔间的货物问题。该公司的空运能力是100吨/天，空运费用是250美元/吨。由于飞机存储隔间体积的限制，公司每天只能移动50000ft3(1ft=304.8mm)的货物。表1给出了A、B、C三种货物运输情况：货物体积（ft3）重量（吨）ABC550800400304050问题一：基于约束优化问题建立数学模型，并利用Lagrange乘子技术解决该问题。使用这种方法确定不同货物每天应各自空运多少，才能让航空公司收入最大化？问题二：计算每个约束的影子价格，并解释这些结果的意思。问题三：考虑如下延伸问题：该公司有能力重新配置它的一些老飞机，以增大储货区域体积。每架旧飞机的改造将花费200000美元，增加2500ft3储货区域。重量限制不改变。假设飞机每年飞行250天，旧飞机剩余使用寿命大约是5年。从经济角度考虑作此改变是否值得？如果值得，应投入多少架旧飞机？问题四：使用合适的软件包求解上面线性规划问题，验证上面的结果。二、问题的分析本题研究的是充分利用飞机存储隔间来运输不同重量及体积的货物，从而使得公司的利润达到最大值。题目已知各种货物的体积及重量和相关约束条件。为了保证每天运载的货物重量体积大致相同，且能保证该方案能保证公司年收入最大。由此必须得出每天的货物安排方案。在以上假设的条件下，我们需要建立多变量有约束条件的数学函数模型，达到利润最优化最大化。三、模型假设与约定假设1：飞机每天最多只能运输50000ft3的货物。假设2：飞机飞机每天最多只能运100t货物。假设3：每天都要运30吨货物A。假设4：每天都要运40吨货物B。假设5：每天都要运50吨货物C。假设6：飞机飞行时不会出现故障，保证正常飞行。假设7：保证每吨货物的运费保持不变。假设8：忽略航空公司飞机的燃料费用及修理维护费用。四、符号说明及名词定义符号意义单位Z公司利润美元MaxZ公司最大利润美元1Z货物A的利润美元2Z货物B的利润美元3Z货物C的利润美元1x运输货物A的吨数吨（t）2x运输货物B的吨数吨（t）3x运输货物C的吨数吨（t）V飞机仓储隔间容积立方英尺（ft3）M飞机载重吨（t）五、模型的建立及求解5.1问题一的模型5.1.1问题一模型的分析根据数据分析，需要根据线性规划的知识建立利润最大的数学模型，使航空公司运载货物的利润实现最大化。5.1.2问题一模型的建立5.1.2.1目标函数的建立由以上分析，得到运载货物的利润最大化的规划模型，则有目标函数为：123MaxZZZZ根据利润计算方法及所给数据，目标函数中各项表示为：123250250250ABCZxZxZx5.1.2.2约束条件的建立由题知，要求每天货物安排达到最大利润。则在飞机存储隔间体积的限制下，有：12355080040050000xxx且航空公司的运载能力有限，有：123100xxx再则，每天运载三种货物同样有重量上限，有：123030040050xxx则约束条件可表示为：12312312355080040050000100..030040050xxxxxxstxxx简化为：322335100040050xxxx5.1.3问题一模型的求解5.1.3.1问题一模型求解方法——Lagrange乘子法这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用Lagrange乘子法求解。第1步：确定目标函数MaxZ的可行域S目标函数MaxZ的可行域S（见图1）为：图1目标函数的可行域图第2步：作拉格朗日函数：2312332,25035100,Lxxxxxxx第3步：求其对23,xx的偏导数，并使之为零，得到：133232250250250351000250250250351000xxxxxx求解得：1233016.87550xxx5.1.4问题一模型结果的分析由结果可以得到当运输航空公司每天运输1x货物30吨、2x货物7.5吨、3x货物50，每年得到的利润最大2503016.8755024218.75MaxZ美元。即公司应按照以上的1x为30吨，2x为16.875吨，3x为50吨的运输安排运输货物。5.2问题二模型5.2.1问题二模型的分析在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化，这是基于线性规划中的合理利用有限资源以求得最好的经济效果的规划问题。即本题要求A、B、C种货物每增运1吨时，利润的增加量。5.2.2问题二模型的建立同问题一的模型相同，即为：12312312355080040050000100..030040050xxxxxxstxxx5.2.3问题二模型的求解：将应用程序输入到Lingo软件中，得到的部分结果为：ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2）0.0000000.1388893）12.5000000.0000004）0.000000173.6111155）32.5000000.0000006）0.000000194.444443NO.ITERATIONS=1最优解下资源增加1“单位”时“效益”的增量：飞机运载空间每增加1立方英尺时，利润增加0.138889美元，飞机运载能力的增加对利润不影响，A种货物每增运1吨时，利润增加173.611115美元。B种货物的增运对利润不影响。C种货物每增运1吨时，利润增加194.444443美元。5.2.4问题二模型结果的分析：5.2.4.1灵敏度分析（以下为部分输出结果）RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX1250.00000INFINITY173.611115X2250.00000568.181824250.000000X3250.00000INFINITY194.444443最优解不变时目标函数系数允许的变化范围（约束条件不变）：1x的系数变化范围（173.61，250）2x的系数变化范围（0，818.2）3x的系数变化范围（55.6，250）RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250000.00000022500.00000013500.0000003100.000000INFINITY12.500000430.00000018.00000030.000000540.000000INFINITY32.500000650.00000016.07142850.000000飞机的运输货物体积最多增加222500立方英尺，A货物最多每增运18吨。C货物最多每增运16吨。5.3问题三模型5.3.1问题三模型的分析由问题二可以得出以下结论：每增加1立方英尺，利润就增加0.138889；当增加2000立方英尺时每天增加利润2000×0.138889=277.778美元；每架飞机增加的利润277.78×250×5=347225美元。改造一架飞机的净利润=347225-200000=147225美元。5.3.2问题三模型的建立同问题一的模型相同，即为：12312312355080040050000100..030040050xxxxxxstxxx5.3.3问题三模型的求解输出部分结果为：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3OBJECTIUEFUNCTIONVALUE1）22152.78VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX130.0000000.000000X28.6111110.000000X350.0000000.000000所以由于对结果的检验航空运输公司应该值得改装，应该改装1架飞机。5.4问题四的解决（见附录）六、模型检验在对模型进行稳定性分析的时候，我们常用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。在研究问题二的模型时，进行了灵敏度分析，得到了以下结论：最优解不变时目标函数系数允许的变化范围（约束条件不变）1x的系数变化范围（173.61，250）2x的系数变化范围（0，818.2）3x的系数变化范围（55.6，250）1x、2x、3x三个变量的系数在约束条件不变下可在一定范围内变化。显然，若改变某一参数，目标函数的最优解变化不大。七、模型的改进与推广在解决如何安排空运货物使公司利润最大化的问题上，我们采用的是线性规划的方法。线性规划的理论和方法都比较成熟，如果一个问题的限制条件可以写出某些决策变量的线性方程组或线性不等式组，那我们就可以应用LINGO软件将该线性规划方程解出来得到最优解。对于模型二，通过灵敏性分析发现数据的改变对于最优的结果没有太大的影响。但是我们的模型还是存在一些缺点，比如我们认定运输每种货物的难易程度是一样的，不会增加其成本。以上建立的模型，在解决最优化问题上方便简单快捷，不仅适用于货物的运输问题上，也适用于钢管的下料问题，投资的收益和风险，奶产品的生产与销售等一系列问题等。编程运用LINGO软件，节约计算时间。八、参考文献[1]全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编。中国物价出版社，2002[2]宋兆基，徐流美等。MATLAB6.5在科学计算中的应用。清华大学出版社，2005[3]耿素云.集合论与图论(理算数学二分册)[M].北京：北京大学出版社，1997.[4]赵可培.运筹学[M].上海：上海财经大学出版社，2000.九、附录附录一：（详述问题四）用MATLAB软件包来处理模型一：程序如下：编写M文件xxgh1.m如下：c=[-250-250-250];A=[550800400;111;100;010;001];b=[50000;100;30;40;50]Aeq=[];beq=[];vlb=[000]vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)maxZ=-fval运行结果：Untitledb=50000100304050vlb=000Optimizationterminated.x=30.000016.875050.0000fval=-2.4219e+04maxZ=2.4219e+04附录二：使用EXCEL软件对模型一求解：货物AX1货物BX2货物CX3常数实际值体积（ft3）550800400500000重量（吨）111100-3.125X1的约束100300X2的约束01040-23.125X3的约束001500货物AX1货物BX2货物CX3最佳重量3016.87550最大收入y124218.75