量子力学复习题--大题

1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2cEe动），那么epE22如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV61051.0，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有phnmmmEchcEhee71.01071.031051.021024.1229662在这里，利用了meVhc61024.1以及eVce621051.0最后，对Echce22作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。1．3氦原子的动能是kTE23（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解根据eVKk3101，知本题的氦原子的动能为,105.123233eVKkkTE显然远远小于2c核这样，便有Echc22核nmmm37.01037.0105.1107.321024.19396这里，利用了eVeVc962107.3109314核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为TkchcEchc2222据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。p.522.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令)]()()()([2])()()()([2)(2)()()()(******rrrriererereriiJertfrtrEtiEtiEtiEtiEti）（）（，可见tJ与无关。2.2由下列两定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。解：分量只有和rJJ21在球坐标中sinr1er1err0rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr30202201*1*111)]11(1)11(1[2)]1(1)1(1[2)(2)1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr3020220*2*222)]11(1)11(1[2)]1(1)1(1[2)(2)2(可见，rJ与2反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设ikxex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dxdx*∴波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数)(x的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为22222anEn)321(，，，n能量的几率分布函数为2)(nCEandxxxanadxxxC0*)(sin2)()(axxaxxanax,0,00,sin2)(先把)(x归一化，由归一化条件，aadxxaxaxAdxxaxAdxx022220222)2()()(1adxxaxxaA043222)2(30)523(525552aAaaaA∴530aA∴andxxaxxanaaC05)(sin302]sinsin[1520203xxdanxxxdanxaaaaaxannaxanxnaxanxnaxannaxanxnaa0333222222323]cos2sin2cossincos[152])1(1[15433nn∴2662])1(1[240)(nnnCE,6,4,2053196066nnn，，，，，adxxpxdxxHxE02)(2ˆ)()(ˆ)(adxaxxdxdaxxa02225)](2[)(30)32(30)(303352052aaadxaxxaa225a3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为ararrU,0;,)(求粒子的能级和定态波函数。解：据题意，在ar的区域，)(rU，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数0(ar)由于在ar的区域内，0)(rU。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为)(r，则粒子的能量的本征方程为Edrdrdrdr)(1222令222,)(EkrErU，得0222ukdrud其通解为krrBkrrArkrBkrArusincos)(sincos)(波函数的有限性条件知，)0(有限，则A=0∴krrBrsin)(由波函数的连续性条件，有0sin0)(kaaBa∵0B∴),2,1(nnkaank∴22222anEnranrBrsin)(其中B为归一化，由归一化条件得2022022002sin4sin)(1aBrdranBdrrrddaa∴aB21∴归一化的波函数rranarsin21)(4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为),(),(2),(2122222tpECtpCptpCdpd即0),()2(),(2122222tpCpEtpCdpd两边乘以2，得0),()2(),(11222tpCpEtpCdpd令1,1ppE20),()(),(222tpCtpCdd跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为tEinpnnnepHeNtpCnE)(),()(222121式中nN为归一化因子，即2/12/1)!2(nNnn#4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：2222222221221ˆ21ˆxxxpHdxxHxHpppp)(ˆ)(*dxexxexpipxi)212(2122222dxexdxepixppixppi)(22)(22212121)(2dxepipppxppi)(22222)(2121)(2dxepipppxppi)(2222221)(21)(2)(21)(222222pppppp)(21)(222222pppppp5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201EE及，现在受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元为bHHaHH22112112，；ba、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得nnnHE)1(mmnmnnEEHE)0()0(2')2(得bHEbHE22)1(0211)1(010201200121')2(01EEaEEHEmmm0102200222')2(02EEaEEmHEmm∴能量的二级修正值为02012011EEabEE01022022EEabEE5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解：2112212sppspANJ2463107828332sspeceN3814265232ceNspeV2.102120431065232aceNspWNp92101.3若9210pN，则WJ1.321#7.1.证明：izyxˆˆˆ证：由对易关系zxyyxiˆ2ˆˆˆˆ及反对易关系0ˆˆˆˆxyyx，得zyxiˆˆˆ上式两边乘zˆ，得2ˆˆˆˆzzyxi∵1ˆ2z∴izyxˆˆˆ7.5设氢的状态是),()(23),()(2110211121YrRYrR①求轨道角动量z分量zLˆ和自旋角动量z分量的平均值；②求总磁矩SeLeMˆˆ2ˆ的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成10),()(2301),()(2110211121YrRYrRzzSYrRSYrR(),()(23)(),()(21211021211121从ψ的表达式中可看出zLˆ的可能值为0相应的几率为41434zL的可能值为22相应的几率2iC为414344324122ziizSCS)4(422eeSeLeMzzzzSˆzSˆBMe4142