金融时间序列分析第2部分时间序列分析基础2非平稳时间序列.

金融时间序列分析陆贵斌2012年10月内容第1部分前言第2部分时间序列分析基础第3部分matlab时序分析第4部分金融时间序列分析第2部分时间序列分析基础非平稳时间序列分析第一步对任何一个时间序列进行建模，首先，要求对时间序列有一定的了解；直观的序列图理论、经验等目的：作出合理的、适度的假设；非平稳序列Wold分解1.确定性分析2.随机性分析3.ARIMA模型4.时间序列的分解Wold分解定理HermanWold，(1908-1992),瑞典人1938年提出Wold分解定理。1960年提出偏最小二乘估计方法(PLS)Cramer分解定理HaraldCremer(1893-1985)，瑞典人，斯德哥尔摩大学教授，Wold的指导教师。Wold分解定理（1938）对于任何一个离散平稳过程，都可以分解为两个不相关的平稳序列之和：一个为确定性的，另一个为随机性的，其中：为确定性序列，为随机序列，它们需要满足如下条件（1）（2）（3）}{txtttVx}{tVt0jjtjt020,1jj),0(~2NtstVEst,0),(确定性序列与随机序列的定义对任意序列而言，令关于q期之前的序列值作线性回归其中为回归残差序列，。确定性序列，若随机序列，若tytytqtqttyyy1210}{t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVarARMA模型分解ttBBx)()(确定性序列随机序列Cramer分解定理（1961）任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加：1）由多项式决定的确定性趋势成分；2）平稳的零均值误差成分。}{txtttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0对两个分解定理的理解Wold分解定理：任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。Cramer分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。时间序列确定性分析传统的因素分解长期趋势循环波动（现在用的少）季节性变化随机波动目的：克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响趋势分析目的有些时间序列具有非常显著的趋势，要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测。常用方法趋势拟合法平滑法澳大利亚政府1981——1990年每季度的消费支出序列趋势拟合法趋势拟合法：时间作为自变量，相应的序列观察值为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型分类线性拟合非线性拟合线性拟合使用场合长期趋势呈现出线形特征模型结构)(,0)(ttttIVarIEIbtax非线性拟合使用场合长期趋势呈现出非线形特征参数估计指导思想能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计常用非线性模型模型变换变换后模型参数估计方法线性最小二乘估计线性最小二乘估计－－迭代法－－迭代法－－迭代法2ctbtaTtttabTttbcaTtbcateTttbcaT122ttttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例：对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟合非线性拟合模型变换参数估计方法线性最小二乘估计2ctbtaTt22tt20952.02517.502tTt拟合效果图平滑法进行趋势分析和预测时常用的一种方法。利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。常用平滑方法移动平均法指数平滑法简单指数平滑基本公式等价公式221)1()1(~ttttxxxx1~)1(~tttxxx季节效应分析【例】以北京市1995年——2000年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析的基本思想和具体操作步骤。季节指数的理解季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系1：该季度的值常常会高于总平均值1：就说明该季度的值常常低于总平均值≈1：那就说明该序列没有明显的季节效应例季节指数的计算例季节指数图综合分析常用综合分析模型加法模型乘法模型混合模型ttttISTxttttISTx)())ttttttttITSxbITSxa例对1993年——2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性时序分析。(1)绘制时序图(2)选择拟合模型长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型（b）拟合该序列的发展)(ttttITSx(3)计算季节指数月份季节指数月份季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季节指数图(4)拟合长期趋势tTt93178.20522.1015ˆ季节调整后的序列图ttttITSxˆ(5)残差检验ttttITSxˆˆ(6)短期预测ˆˆˆ()ttltlxlST二、非平稳序列常见的非平稳经济时间序列有以下几种。（一）趋势平稳过程（退势平稳过程）（二）单位根过程(差分平稳过程，单整过程)yt=yt-1+ut（三）趋势非平稳过程（带漂移且有时间趋势的随机游走）yt=+t+yt-1+ut()ttyftu（一）趋势平稳过程（退势平稳过程）()ttyftuCramer分解定理是确定性趋势，通常是一个线性趋势，是一个平稳序列。1）可用回归的方法确定趋势项，2）对平稳序列拟合一个ARMA模型：()fttu()fttu0()dititiytB趋势平稳过程也称为退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程。yt=0+1t+ut,ut=ut-1+vt,(1,vtIID(0,2))差分得yt=1+ut-ut-1移动平均特征方程中含有单位根。对于这种非平稳过程，不能用差分的方法获得平稳过程，只能用退势的方法获得平稳过程。平稳过程非平稳过程-100102030405050100150200250300350400trendstationaryprocess由yt=0.05+0.1t+ut，ut=0.8ut-1+vt,生成的序列（二）单位根过程(差分平稳过程，单整过程)常见的单位根过程有：1）随机游走过程(纯随机游走过程)yt=yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)(白噪声)均值为零，方差无限大，但不含有确定性时间趋势。1ttiiyu显然，且，可见可以通过差分的方法平稳化。ttyu-10-5051020406080100120140160180200y=y(-1)+u由yt=yt-1+ut,utIID(0,2)生成的序列2）随机趋势过程（带漂移的随机游走）yt=+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)(白噪声)其中，称作位移项（漂移项）。yt由确定性时间趋势项t和y0+组成，可以把y0+看作随机的截距项，为时间斜率。1tiiutiiu1yt=+yt-1+ut=+(+yt-2+ut-1)+ut=…=t+y0+1tiiu截距项确定性趋势随机游走在不存在任何冲击ut的情况下，截距项为y0。每个冲击ut都表现为截距的移动，对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化；所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastictrendprocess），或带漂移的随机游走。当y0=0时，2,ttEyatDyt2()()(),()tttstssEyEyyEytsts()()()stststtst由此可以看到yt的非平稳性。提取确定性趋势后的剩余部分是一个非平稳过程（随机游走）。因此，随机趋势过程不能采用退势的方法平稳化，只能用差分的方法平稳化。yt=+yt-1+ut=+(+yt-2+ut-1)+ut=…=t+y0+1tiiu截距项确定性趋势随机游走02040608050100150200250300350400stochastictrendprocess-100-80-60-40-200201002003004005006007008009001000y=-0.1+y(-1)+u由yt=0.1+yt-1+ut,utIID(0,2)生成的序列由yt=-0.1+yt-1+ut,utIID(0,2)生成的序列（三）趋势非平稳过程（带漂移且有时间趋势的随机游走）yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)其中称作位移项（漂移项），t称为趋势项。趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。对上式进行迭代运算可得：yt=+t+yt-1+ut=+t+(+(t-1)+yt-2+ut-1)+ut=…=y0+t+(t)t-(1+2+…+t)+tiiu1yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2)对上式进行迭代运算可得：yt=+t+yt-1+ut=+t+(+(t-1)+yt-2+ut-1)+ut=…=y0+t+(t)t-(1+2+…+t)+tiiu1=y0+t+t2-(1+t)t+=(-)t+t2+,(设定y0=0)222tiiu1确定性趋势随机游走趋势非平稳过程是含有随机趋势和确定性趋势的混合过程。对于对数的宏观经济变量，趋势平稳过程（退势平稳过程）是最常见的表现形式。因为yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID(0,2),所以，▽yt=+t+ut。趋势非平稳过程的平稳化方法是：先对时间序列进行差分，然后用回归的方法提取确定性趋势。-1001020304050607080255075100125由yt=0.01+0.01t+yt-1+ut,utIID(0,2)生成的序列实际经济序列的增长趋势常常是指数形式的。如中国的国民收入和消费。然而无论随机趋势过程还是趋势平稳过程,通常所设定的趋势都是线性的。这是为什么？原因是原序列取对数后，趋势项常是线性的。例如yt=et，则lnyt=t所以，用经济序列建立模型之前应先取对数。这样既可以用线性趋势模型描述，又可以消除异方差。05000100001500020000250005560657075808590IPCP7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590LNIPLNCP中国的国民收入和消费对数的中国国民收入和消费对于单位根过程（差分平稳）：每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷大，其均值概念变得毫无意义；(即没有均值回复特性)随机趋势过程虽然也有长期‘引力线’，但其数据生成过程含有单位根，随机冲击对它具有持续的长期影响。只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。三者对比：对于退势平稳过程：随机成分是一个白噪声或平稳的过程，所以,接受冲击后只具有有限记忆能力，影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。第二节非平稳性检验一、数据图检验法在平面直角坐标系中将所研究的时间序列绘成连线图，观察其是否存在趋势性或周期性。二、自相关、偏相关函数检验法如果一个序列零均值化以后的自相关函数或偏相关函数出现缓慢衰减或周期性衰减的情况，说明序列可能存在某种趋势性或周期性。ttX三、特征根检验法先拟合序列的适应模型，然后求出该适应模型的参数组成的特征方程的特征根，若所有的特征根都在单位圆内，则可以认为该序列是平稳的。四、游程检验法（1）游程