高一数学-南通市启东中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

12014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式≤0的解集为__________．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为__________．3．在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的一般式方程为__________．4．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a=__________．5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．6．若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=__________．7．（1﹣2n）=__________．8．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是__________．9．如果实数x，y满足条件，那么3x（）y的最大值为__________．10．若x＜0，则函数的最小值是__________．11．设集合P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，若P∩Q=∅，则实数a的取值范围是__________．12．数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2015=__________．13．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=2，则+的最小值是__________．214．在直角坐标系xoy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M（1，0），动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是__________．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．设函数f（x）=﹣4x+a，不等式|f（x）|＜6的解集为（﹣1，2）（1）求a的值；（2）解不等式＞0（m∈R）．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．17．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．18．已知圆x2+y2+2ax﹣2ay+2a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．19．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．320．已知实数q≠0，数列{an}的前n项和Sn，a1≠0，对于任意正整数m，n且n＞m，Sn﹣Sm=qmSn﹣m恒成立．（1）证明数列{an}是等比数列；（2）若正整数i，j，k成公差为3的等差数列，Si，Sj，Sk按一定顺序排列成等差数列，求q的值．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式≤0的解集为（﹣4，3]．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式等价于，由此求得它的解集．解答：解：不等式≤0等价于，求得﹣4＜x≤3，故答案为：（﹣4，3]．点评：本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．考点：三点共线．专题：计算题．分析：由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m的值．解答：解：由题意可得KAB=KAC，∴=，∴m=，故答案为．点评：本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等．43．在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：先求出直线的截距式方程，然后转化为一般方程即可．解答：解：在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为﹣2的直线的截距式方程为，即一般式方程为：2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．点评：本题主要考查直线方程的求解，利用直线截距式方程和一般式方程的关系是解决本题的关键．4．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值．解答：解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴≠，解得a=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．5．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是0≤a≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，转化成x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立，然后建立关于a的不等式，求出所求的取值范围即可．解答：解：函数的定义域为R，∴﹣1≥0在R上恒成立即x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立该不等式等价于△=4a2﹣4a≤0，解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1故答案为：0≤a≤1点评：本题考查对定义域的理解和认识，考查二次不等式恒成立问题的转化方法，注意数形结合思想的运用，属于基础题．56．若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．解答：解：依题意可得，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．7．（1﹣2n）=﹣399．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：可得数列为首项为1，公差为﹣2的等差数列，代入求和公式可得．解答：解：（1﹣2n）=1+（﹣1）+（﹣3）+…+（﹣39）==﹣399．故答案为：﹣399点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．8．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是x2+（y+1）2=13．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键．69．如果实数x，y满足条件，那么3x（）y的最大值为9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，结合指数幂的运算法则，利用数形结合进行求解即可．解答：解：3x（）y=3x﹣2y，设z=x﹣2y，解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（0，﹣1）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2，∴函数z=x﹣2y的最大值是2．则3x（）y的最大值为32=9，故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．10．若x＜0，则函数的最小值是4．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先利用基本不等式确定变量的范围，再利用配方法求二次函数的最值．7解答：解：设，∵x＜0，∴t≤﹣2，函数可化为，由于对称轴为，∴t=﹣2时，函数有最小值4，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的运用，考查二次函数的最值，关键是配方，应注意函数的定义域对函数最值的影响．11．设集合P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，若P∩Q=∅，则实数a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合P表示圆心为（﹣a，﹣2a），半径为2的圆上的点集，集合Q表示圆心为（0，0），半径为1的圆上的点集，根据P与Q交集为空集得到两圆相离或内含，确定出a的范围即可．解答：解：∵P={（x，y）|（x+a）2+（y+2a）2}=4，Q={（x，y）|x2+y2=1}，且P∩Q=∅，∴圆心为（﹣a，﹣2a），半径为2的圆与圆心为（0，0），半径为1的圆相离或内含，∴（﹣a）2+（﹣2a）2＞32，即a2＞或（﹣a）2+（﹣2a）2＜1，即a2＜，解得：a＜﹣或a＞；a＜﹣或a＞，则实数a的范围为{a|a＜﹣或a＞}，故答案为：{a|a＜﹣或a＞}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12．数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2015=﹣2．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先通过题意进行计算，确定数列{an}是以3为周期的数列，求出a1a2a3=﹣1，再利用周期性求出A2013的值．解答：解：由题意得，a1=3，an﹣anan+1=1，∴an+1=1﹣，则a2=，a3=，a4=3，…，∴数列{an}是以3为周期的数列，且a1•a2•a3=3×=﹣1，8∵2015=671×3+2，∴A2015=（a1•a2•a3）671•a1•a2=（﹣1）671•3×=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查数列递推式的化简，以及数列的周期性，确定数列{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1是解题的关键．13．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=2，则+的最小值是2.5．考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：根据等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，可得an=2•3n﹣1；Sn=3n﹣1，由log3[an•（S4m+1）]=2，可得n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．解答：解：∵等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，∴an=2•3n﹣1；Sn=3n﹣1，∵log3[an•（S4m+1）]=2，∴（n﹣1）+4m=9，∴n+4m=10，∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5当且仅当m=n=2时取等号，∴+的最小值是2.5．故答案为：2.5．点评：本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．14．在直角坐标系xoy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16，点M（1，0），动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是[﹣1，+1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设P（x1，y1）、Q（x2，y2），有条件可得|PQ|2=22﹣2（x1+x2）．设PQ中点为N（x0，y0），则|PQ|2=22﹣4x0，利用线段的中点公式求得（x0﹣）2+y02=，再由x0的范围，求得|PQ|的范围．解答：解：设P（x1，y1）、Q（