2019年大连市高三一模理科数学

2019年大连市高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题1.D2.A3.A4.B5.C6.B7.D8.A9.D10.B11.C12.C二、填空题13.814.3215.121316.25344nn三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得：426sinC223所以sin1C，2C，…………………………………………3分所以226422BC所以1S242422…………………………………………6分（Ⅱ）设DCx，则2BDx，所以222222322632422322232xxxx解得：693x所以369BCDC………………………12分18.解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为62006020（人）…………………………………………………2分估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为400(0.0250.05)10300（人）………………………………4分（II）第一车间生产时间平均值约为60270480109047820x第一车间（min）……………………5分第二车间生产时间平均值约为600.25700.5800.2900.0570.5x第二车间（min）………6分∵xx第一车间第二车间，∴第二车间工人生产效率更高………………………8分（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，03243641(0)205CCPXC，………………………………………………9分122436123(1)205CCPXC，……………………………………………10分21243641(2)205CCPXC………………………………………………11分X的分布列为：X012P153515数学期望131()0121555EX………………………………12分19.（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，,ABCEABCE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，3CADE，23DABABC∴在等腰ADB中，6ADBABD∴2362DBC即BDBC，∴BDAE，……………………………2分翻折后可得：,OPAEOBAE，又OPPOB平面，OBPOB平面，OPOBO，AEPOB平面，PBPOB平面，AEPB；……………4分（II）解：在平面POB内作PQOB，垂足为Q，AEPOB平面，AEPQ，OB平面ABCE,AE平面ABCEAEOBOPQABCE平面，∴直线PB与平面ABCE夹角为4PBQ，又OPOB，OPOB，OEDCBAPOECBAQPOECBAyzxPOECBA∴O、Q两点重合，即OPABCE平面，……………6分以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3(0,0,)2P，1(,0,0)2E，3(1,,0)2C，∴13(,0,)22PE，13(,,0)22EC，设平面PCE的一个法向量为1(,,)nxyz，则1100PEnECn，即1302213022xzxy，设3x，则1y，1z，∴1(3,1,1)n，…………………………………………………………8分由题意得平面PAE的一个法向量2(0,1,0)n，………………………9分设二面角A-EP-C为，121215cos5||||15nnnn…………11分易知二面角A-EP-C为钝角，所以5cos5………………………12分20．解：（I）法一：设(,)Nxy，000(,)(0)Mxyx，11MBNB，22MBNB，直线1NB：0033xyxy①………………………………1分直线2NB：0033xyxy②………………………………2分①②得22202099xyxy，又22001189xy，202222018(1)9929yyxxy，整理得点N的轨迹方程为：221992yx（0x）……………………6分法二：设11(,)Nxy，000(,)(0)Mxyx，11MBNB，22MBNB，直线1NB：0033xyxy……①直线2NB：0033xyxy……②由①，②解得：2010109yxxyy，又22001189xy，012xx，……………………………………………………………4分故01012xxyy，代入22001189xy得：22111992yx，点N的轨迹方程为221992yx（0x）…………………………6分法三：设直线1MB：3(0)ykxk，则直线1NB：13yxk①直线1MB与椭圆C：221189xy的交点M的坐标为2221263(,)2121kkkk，……………………………………………………2分则直线2MB的斜率为222263312112221MBkkkkkk，直线2NB：23ykx……②由①，②解得N点的坐标为222636(,)2121kkkk，………………4分由2226213621kxkkyk解得：点N的轨迹方程为：221992yx（0x）…………………………6分（II）法一：设11(,)Nxy，000(,)(0)Mxyx，由（I）法二得：012xx四边形21MBNB的面积1210013||(||||)3||22SBBxxx，……10分20018x，当2018x时，S的最大值为2722.……………12分法二：由（I）法三得：四边形21MBNB的面积12222112||6||54||54272||(||||)3()1221212122||||MNkkkSBBxxkkkkk……………………………………………………………………………10分当且仅当2||2k时，S取得最大值2722.…………………………12分21.解：（Ⅰ）2222()aaxfxxxx，∵(0,6)x∴①当0a时，()0fx在(0,6)x上恒成立，∴()fx在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；…………………1分②当0a，且26a，即103a时，()0fx在(0,6)x上恒成立，∴()fx在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；………………2分③当0a，且26a，即13a时，在2(0,)xa上，()0fx，在2(,6)xa上，()0fx，∴()fx在2(0,)a上单调递减，2(,6)a上单调递增……3分综上，当13a时，()fx在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；当13a时，()fx在2(0,)a上单调递减，2(,6)a上单调递增……4分（Ⅱ）∵2x是()fx的极值点，∴由（1）可知22a，∴1a设曲线在11,()Pxfx处的切线方程为112111221(ln)()()yxxxxxx，曲线在22,()Qxfx处的切线方程为222222221(ln)()()yxxxxxx∴若这两条切线互相平行，则2211222121xxxx,∴121112xx∵211112xx,且1206xx，∴11111162xx，∴111143x，∴1(3,4)x…………………………………………………………………5分两条切线在y轴上的截距：令0x，则1114ln1bxx，同理，2224ln1bxx………………7分法一：∵211112xx，∴1212121111121111=4()lnln=4()lnln()22bbxxxxxxx设1()82lnln()2gxxxx，11(,)43x…………………………9分∴2222111681(41)()801222xxxgxxxxxxx∴()gx在区间11(,)43上单调递减，……………………………………10分∴2()(ln2,0)3gx即12bb的取值范围是2(ln2,0)3.……………………………………12分法二：∵12122xxx，∴11212121118=4()lnln=2ln(1)2xbbxxxxx令8()ln(1)22xgxx，其中(3,4)x………………………………9分∴2222281816(4)()02(2)(2)xxxgxxxxxxx∴函数()gx在区间(3,4)上单调递增，…………………………………10分∴2()(ln2,0)3gx∴12bb的取值范围是2(ln2,0)3.…………………………………12分法三：∵12122xxxx，∴2111212121224()44lnlnlnxxxbbxxxxxxx121211112222212=lnln1xxxxxxxxxxxx设21()ln1xgxxx∵1121=1(,1)22xxx，1(,1)2x…………………………………………………………………9分222141()(1)(1)xgxxxxx∴()0gx，∴函数()gx在区间1(,1)2上单调递增，………………10分∴2()(ln2,0)3gx∴12bb的取值范围是2(ln2,0)3.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）直线1l的参数方程为2cos301sin30xtyt，即322112xtyt（t为参数）………………………………………2分设11,,,NM,10,01112,即312cos，即4cos，所以22400xxyx.……………………………………………5分（Ⅱ）将1l的参数方程代入C的直角坐标方程中，2233124210222ttt……………………………7分即230tt,12,tt为方程的两个根，所以123tt，………………9分所以1233APAQtt.…………………………………………10分23.解：（Ⅰ）①当12x时，21()324,32fxxx……1分②当112x时，1()4,12fxxx………………2分③当1x时，()324,fxx12x………………3分综上：()4fx的解集为223xx……………………………5分（II）法一：由（I）可知13+221(),1232,1xxfxxxxx，，min1(),2fx即12m………………………………………………………………………6分又,,,abcR且12abc，则2221a