《第13章-三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4．了解三角形的稳定性。知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。注意：三角形的中线平分三角形的面积。2.三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）；③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2．命题都可以写成：“如果……，那么……。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：（1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。（3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。（7）等腰三角形的判定与性质。（8）直角三角形的判定与性质。9．反证法①假设，②推理，③矛盾，④结论。《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》练习题一、填空题：1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是___________，这个三角形是___________三角形。2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为___________。3．三角形的三边长分别为1a，a，1a，则a的取值范围是___________。4．三角形的三边为1，a1，9，则a的取值范围是___________。5．已知a，b，c为ΔABC的三条边，化简(a+b-c)2－|b－a－c|＝___________。6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长。7．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28cm，则DB＝___________。8.已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为___________。9.等腰三角形的周长为20cm，（1）若其中一边长为6cm，则腰长为___________；（2）若其中一边长为5cm，则腰长为___________。10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，则△ABC的周长的取值范围是___________。11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为___________。12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为___________。13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_______________________________。第7题图EDCBA安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；21ABCD14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为___________。15．三角形的最小角不大于___________度，最大角不小于___________度。16．三角形的三个内角中至少有___________个锐角，三个外角中最多有___________个锐角。17．在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝___________度。18．在△ABC中，∠A＝21∠B＝31∠C，则∠B＝___________。19．如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A＝___________。20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，则∠BDC的度数是___________。21．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝___________。22．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为___________。（第20题图）（第21题图）（第22题图）23．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外（如图），若∠2＝20°，则∠1的度数为___________。24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°＋21∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝21∠ABC，∠2＝21∠ACB∴∠1＋∠2＝21(∠ABC＋∠ACB)又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A∴∠1＋∠2＝21(180°－∠A)＝90°－21∠A∴∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－（90°－21∠A）＝90°＋21∠A。探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）。结论：。第6题图FEDCBA安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；25．如图，已知∠A＝80°，（1）若点O为两角平分线的交点，则∠BOC＝___________；（2）若点O为两条高的交点，∠BOC＝___________。26.如图，△ABC的面积等于212cm，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE＝2EC，O为DC与BE交点，若△DBO的面积为2acm，△CEO的面积为2bcm，则ba___________。27．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP。若∠BPC＝50°，则∠PAC＝___________度。（第25题图）（第26题图）（第27题图）28．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝___________度。二、选择题：1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的（）A．7cmB．4cmC．3cmD．10cm2．若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（）A.7B.6C.5D.43．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A.－6＜a＜－3B.－5＜a＜－2C.2＜a＜5D.a＜－5或a＞－25.一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（）A.3B.4C.5D.66．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.17．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（）A．7B．11C．7或11D．不能确定安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；8．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数（）A．60°B．75°C．90°D．120°10．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形11．三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定12．在ΔABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么ΔABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.斜三角形13.三角形中，最大角的取值范围是（）A.900B.18060C.9060D.1806014．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．72°15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（）A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案都不对16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1＋∠2的大小为（）A．130°B.230°C.180°D.310°17．已知如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°则∠DFE等于（）A.120°B.115°C.110°D.105°（第16题图）（第17题图）18．在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜180°B．0°＜∠A＜800C．50°＜∠A＜130°D．80°＜∠A＜130°19．若、、是三角形的三个内角，而x，y，z，那么x、y、z中，锐角的个数的错误判断是（C）A．可能没有锐角B．可能有一个锐角C．可能有两个锐角D．最多一个锐角20．如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形21．在ABC中⑴如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°21∠A；⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝21∠A；⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－21∠A。ADB1CE2安徽滁州市第五中学胡大柱打造中国一流的学习资料精品文档精细；挑选；上述说法正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个22.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且24cmSABC，则S阴影等于（）A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm223．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系