3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)

Z自然数（正整数与零）解方程x+3=1整数解方程3x=5有理数解方程x2=2实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。NQR引入负整数引入分数引入无理数3,2,1,0一元二次方程，有没有实数根？类比每一次数系的扩充过程，我们能否引进一个新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到解决呢？问题1：01x22019/12/15学习目标：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的有关概念以及符号表示；3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念学习重点：理解虚数单位i引进的必要性及复数的有关概念学习难点：复数的有关概念及应用1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。2019/12/15为了解决负数开平方问题，数学家引入一个新数i，把i叫做虚数单位，并且满足：(1)i21；(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.问题解决:2019/12/15问题2：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，你得到什么样的数？2019/12/15由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运算的结果都可以写成的形式，Rbabia,把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi,等等.所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是RbabiaC,复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,biaz),(RbRa实部虚部复数的代数形式：全体复数所成的集合叫做复数集，通常用字母z表示.一般用字母C表示.新知2019/12/15说出下列复数的实部和虚部？，i312-.22,i3-.i29-3小试牛刀虚数实数复数z=a+bi(a∈R、b∈R)能表示实数和虚数2019/12/15•对于复数a+bi(a,b∈R),•当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;•当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;•当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;•当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;自主学习b=0a=0且b=0b≠0a=0且b≠02019/12/15复数z=a+bi(a∈R、b∈R)能表示实数和虚数问题3：如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?2019/12/15时为纯虚数当虚数实数复数00,0abbz你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？问题4：复数集C实数集R纯虚数集虚数集2019/12/152-3i06i实部虚部分类2i虚数2134练习:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）i34212-3虚数00实数06纯虚数-10实数2019/12/15a,b,c,d应满足什么条件呢？问题5：若复数R)dc,b,di(a,+c=bi+a2019/12/15如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即▲(),,,abcdRdicbiaacbd00ab思考新知若0()abiabR、问题解决:2019/12/15口答1.若2-3i=a-3i，求实数a的值；2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。2019/12/15预习自测答案：.1,31,310,00,022220，，虚部分别是：；，，，，实部分别是：.31,,7222,293,85,31,,72,0,618.0,722是纯虚数是虚数；是实数；iiiiiiiiii1.2.7,1yx3.实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解：（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当，且，即时，复01m01m数z是纯虚数．01m01m01m例1：2019/12/15变式1：是取什么值时，复数实数immmmm36522（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零解：30,0312或解的mmm30,0322mmmm且解的2,03065322mmmmm解的3,03065422mmmmm解的例2:已知其中求iyyxiyyx)12(321)(,,Ryx.yx与解：根据复数相等的定义，得方程组12132yyyxyx得2,4yx2019/12/15变式2：yxixyxyx与求是纯虚数，满足是实数，已知,3解：iyxbxxbxixbixixyxbRbbiy3,03,030330,且设数系的扩充复数z=a+bi(a,b∈R)复数的分类当b=0时z为实数;当b0时z为虚数(此时,当a=0时z为纯虚数).复数的相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)a=cb=d2019/12/15一、教材第106页，A组1、2