量子力学中算符构造矩阵的方法-黄鹏辉

1算符构造矩阵的方法黄鹏辉黄鹏辉-物理(644537151)20:59:37各位，我来给大家介绍一下算符构造矩阵的方法吧黄鹏辉-物理(644537151)21:02:51首先，我们看看算符本征方程及其取值黄鹏辉-物理(644537151)21:03:47任意算符的本征方程为，(7.1.1)黄鹏辉-物理(644537151)21:04:37的本征值可能有无穷多个，一般表示为，(7.1.2)黄鹏辉-物理(644537151)21:05:25相应的本征函数表示为，(7.1.3)黄鹏辉-物理(644537151)21:07:27这样，每个本征值及其相应的本征函数就构成无穷个等式，…(7.1.4)黄鹏辉-物理(644537151)21:09:27这里我们将以四个本征值和本征函数为例来做说明，这样，(7.1.4)就只有四个等式，111ˆFF222ˆFF333ˆFF444ˆFF(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151)21:10:27以上的内容是量子力学中的基本内容，相当于是我们的已知条件。我们就是要根据这些条件来构建矩阵黄鹏辉-物理(644537151)21:12:13下面我们来看看现有教材中构建矩阵的方法，这个方法的核心思想是保证构建的矩阵满足(7.1.1)和(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151)21:14:39第一步，我称之为“状态不相容原理”黄鹏辉-物理(644537151)21:15:08我们从公式出发来构建黄鹏辉-物理(644537151)21:16:362考虑为列矩阵，那么式就成为如下形式，(7.1.6)黄鹏辉-物理(644537151)21:18:12对于其他三个本征函数的列矩阵也是一样，只是各个本征函数在列矩阵中的位置不同，(7.1.7)黄鹏辉-物理(644537151)21:18:54这种方法的每个列矩阵都只能容纳一个本征函数，这有些类似于“泡利不相容原理”，所以我称之为“状态不相容原理”，因为每个本征函数描述了系统的一个状态。[e-mail]21:20:29能打扰一下么，这不和正交一样的么黄鹏辉-物理(644537151)21:21:26不急，是不是和正交一样，我暂时不关心，我现在只关心构造出符合要求的矩阵方程黄鹏辉-物理(644537151)21:20:59大家注意，前面(7.1.6)中还没有确定的是什么？黄鹏辉-物理(644537151)21:22:49现在(7.1.6)中还没有确定的就是，下面我们的工作就是要确定黄鹏辉-物理(644537151)21:23:39这就是我要说的第二步，我称之为“本征值不相容原理”黄鹏辉-物理(644537151)21:24:15确定的方法是什么？黄鹏辉-物理(644537151)21:24:29是矩阵乘法规则，也就是公式(7.1.8)黄鹏辉-物理(644537151)21:26:06要满足(7.1.6)，有几种可能性？应该有三种可能性：3黄鹏辉-物理(644537151)21:27:12第一种是根据矩阵乘法公式，为的行矩阵；黄鹏辉-物理(644537151)21:28:54根据这种可能性，行矩阵可以是如下四种情况，黄鹏辉-物理(644537151)21:30:08但是这种方法只是“大致满足”(7.1.5)的矩阵方程，为什么？黄鹏辉-物理(644537151)21:30:46因为结果为等式左边的各个矩阵是不相同的，这与(7.1.5)的矩阵方程不符合，这是一个小问题。后面我们再去解决黄鹏辉-物理(644537151)21:32:44第二种是根据矩阵乘法公式，为的方阵；黄鹏辉-物理(644537151)21:34:09根据这种可能性，矩阵可以是如下四种情况，黄鹏辉-物理(644537151)21:35:40这种情况下得到的矩阵方程是4黄鹏辉-物理(644537151)21:36:40但是，这种矩阵方程也只是“大致满足”(7.1.5)的，为什么？黄鹏辉-物理(644537151)21:37:17我们来看看(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151)21:37:59(7.1.5)要求的在各个等式中应该是相同的黄鹏辉-物理(644537151)21:38:56但是，上面给出的各个等式中的不相同，所以我们要想办法做到相同黄鹏辉-物理(644537151)21:39:54怎么做到相同？那就是合成一个F的对角矩阵，也就是这就是“算符矩阵”。这个公式清楚地表明了算符就等于矩阵，这实际上就说明了有算符构成的波动力学，与矩阵力学是等价的。黄鹏辉-物理(644537151)21:43:24好，前面说到了两种可能性，第三种可能性，就是也可能为单个数值，但是量子力学中一般不考虑这种情况黄鹏辉-物理(644537151)21:46:28注意，这里有个问题：我们可以把四个矩阵合成为一个“算符矩阵”，那我们能不能把四个独立的波函数列矩阵合成为一个“波函数矩阵”？黄鹏辉-物理(644537151)21:47:23答案是可以的。我们来看看黄鹏辉-物理(644537151)21:48:15我们可以给出如下合成的矩阵公式：(7.1.14)5黄鹏辉-物理(644537151)21:49:06注意一下，这个矩阵公式符合的是前面哪个方程？黄鹏辉-物理(644537151)21:49:40就是本征方程，(7.1.1)黄鹏辉-物理(644537151)21:50:45(7.1.14)实际上就是“本征方程的完全矩阵形式”黄鹏辉-物理(644537151)21:52:00今天张老师给我提到说，实际上(7.1.14)应该也就满足了(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151)21:52:32也就是满足，黄鹏辉-物理(644537151)21:53:26但是在数学上，只给出(7.1.14)，实际上我们还有一个工作没有做到，等下我会指出这点黄鹏辉-物理(644537151)21:54:46我下面要做的工作是拆解(7.1.14)，让拆解式满足(7.1.5)，从而发现问题黄鹏辉-物理(644537151)21:55:50第一种拆解方式，就是按照“状态不相容原理”拆解为，黄鹏辉-物理(644537151)21:56:20这没有问题，因为我们可以核对，这完全满足(7.1.5)黄鹏辉-物理(644537151)21:57:19第二种拆解方式，是按照“本征值不相容原理”拆解为，黄鹏辉-物理(644537151)21:59:09但是，这种拆解方式仍然只是“大致满足”(7.1.5)，因为其中给出的各个矩阵还是不同。究竟出了什么问题？6黄鹏辉-物理(644537151)22:00:18其实问题在于：(7.1.5)并不完整，我们必须给出一个(7.1.5)的补充公式，即111ˆFF222ˆFF333ˆFF444ˆFF(7.1.5a)111ˆFF222ˆFF333ˆFF444ˆFF(7.1.5b)黄鹏辉-物理(644537151)22:02:54而且大家注意，两种拆解方式，“状态不相容原理”和“本征值不相容原理”，彼此是相互排斥的：用“状态不相容原理”拆解，那“本征值必须相容”，用“本征值不相容原理”拆解，那“状态必须相容”黄鹏辉-物理(644537151)22:04:37好了，我介绍完了，不知道大家能不能理解。其中可能还有些问题，我慢慢去核对，我也是刚做完，今天张老师也提了一些问题，我还得细细思量企鹅-等离子体(49099072)22:07:12我觉得你这个太繁琐了，不需要这么复杂黄鹏辉-物理(644537151)22:08:05如果不需要这么复杂，那就直接从这里开始：菜刀___宇宙(1725100166)22:08:44我感觉黄帮主讲的就类似于一个矢量在不同坐标系内投影之间的关系。企鹅-等离子体(49099072)22:09:03其实矩阵就是投影黄鹏辉-物理(644537151)22:09:06我是从泡利矩阵的推导过程总结出来的，所以我是遵循现有教材做的黄鹏辉-物理(644537151)22:25:45我在推导泡利矩阵的时候，其实对这个“状态不相容原理”是最感兴趣的，因为我不知道这与泡利不相容原理有什么联系企鹅-等离子体(49099072)22:26:23这个状态不相容是正交性啊，就是波函数正交性的体现，a|b=0黄鹏辉-物理(644537151)22:27:33嗯，有可能，但是我还得去好好理解一下