高一数学直线与平面垂直的性质2

2．3.3直线与平面垂直的性质•要点一证明直线与直线平行•性质定理可用来判定两直线是否平行，定理揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．•例1如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.•【分析】由题目可获取以下主要信息：•①AB⊥a，AB⊥b，a、b异面；•②a⊥α，b⊥β.•解答本题可先利用线⊥面的性质得线⊥线，再证平行．•【证明】过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为AB⊥b，a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，•又a′∩b＝B，所以AB⊥γ.•因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c①•因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②•由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.•【规律方法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．•变式1如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.•证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD，•∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，•∴DD1⊥AC.•又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，•∴AC⊥平面BDD1，•又BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1.•同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，•∴BD1⊥平面AB1C.•∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C.•∴EF⊥B1C.•又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，•∴EF∥BD1.•要点二证明直线与直线垂直•要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论．即：•因此在解题时应充分体会线面位置关系的相互转化在解题过程中的灵活应用．•例2空间四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证：AC⊥BD.•【分析】作AO⊥平面BCD，将线线垂直转化为线面垂直来证明．•【证明】如图，作AO⊥平面BCD于O，O为垂足．•∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD.•又AB⊥CD且AB∩AO＝A，•∴CD⊥平面ABO，•∴BO⊥CD.同理得BC⊥DO.•∵BO⊥CD，DO⊥BC，∴O为△ABC的垂心，•∴CO⊥BD，又AO⊥平面BCD，•∴AO⊥BD.又AO∩CO＝O，•∴BD⊥平面ACO，∴BD⊥AC.•【规律方法】欲证线线垂直，先证线面垂直，进而由线面垂直的性质得出线线垂直．•变式2如右图，PA⊥平面ABC，△ABC是以角C为直角的三角形，现在过P点作平面PBC的垂线应如何作？•解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.•又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.过A作AE⊥PC，则BC⊥AE，而PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.•在平面PAC中，过P作PQ∥AE，则PQ⊥平面PBC.•要点三线面垂直性质的综合应用•直线与平面垂直实质上取决于线与线的垂直，反过来，线面的垂直又得到线线的垂直，这是线面垂直的实质．•垂直于同一平面的两条直线平行，它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”相互结合，在证明线面垂直的问题中发挥着重要作用．•例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.•求证：(1)MN∥AD1；•(2)M是AB的中点．•【分析】要证明线线平行，•要先证线面垂直，•即证AD1⊥平面A1DC.•【证明】(1)∵四边形ADD1A1为正方形，•∴AD1⊥A1D.•又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.•∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.•又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊12CD綊12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．•【规律方法】若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．•变式3如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．•解：∵VC⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，•∴VC⊥AC，又∵AB是圆O的直径，•∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，•若DE⊥平面VBC，则由线面垂直的性质定理可知，DE∥AC，•又∵点E是VC的中点，∴DE是△VAC的中位线，•∴D是VA的中点．