随机信号课后习题答案1

第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.087813812411210)(][41iiixXPxXE81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122iiiPXExXD109.164711.2设连续随机变量X的概率分布函数为21201)](2πΑsin[0.500)(xxxxxF求（1）系数A；（2）X取值在（0.5，1）内的概率)15.0(xP。解：其他0201)](2π[cos2)()(xxAdxxdFxf由1)(dxxf得2A021)](2πAsin[1)]d(2π[cos2xxxA21A35.042)]15.0(2[sin21)]11(2[sin21)5.0(F)1(F)15.0(xP1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。（1）000e1)(2xxxFx（2）1110Α00)(2xxxxxF（3）0)]()([)(aaxuxuaxxF（4）0)()()(aaxuaxaxuaxxF解：（1）000e1)(2xxxFx当0x时，对于12xx，有)()(12xFxF，)(xF是单调非减函数；1)(0xF成立；)()(xFxF也成立。所以，)(xF是连续随机变量的概率分布函数。求得，00021)()(2xxedxxdFxfx（2）1110Α00)(2xxxxxF在A0时，对于12xx，有)()(12xFxF，)(xF是单调非减函数；欲使1)(0xF和)()(xFxF成立，必须使A=1。所以，在A=1时，)(xF是连续随机变量的概率分布函数。同理，00012)()(xxAxdxxdFxf欲满足1)(dxxf，也必须使A=1。所以，00012)(xxxxf（3）0)]()([)(aaxuxuaxxF上式可改写为000)]()([)(aaxaxuxuaxxF其他对于12xax，)()(12xFxF不成立。所以，)(xF不是连续随机变量的概率分布函数。（4）0)()()(aaxuaxaxuaxxF0)()]()([aaxuaxuxuax0120100axaxaaxxax当xa时，不满足1)(0xF，所以)(xF不是连续随机变量的概率分布函数。第二次作业：练习一之4、5、6、7题1.4随机变量X在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因X在[α，β]上均匀分布其他下01)(xf2dd)(]E[-xxxxxfX)2(31dd)(]E[222-22xxxxfxX222-2)(121])X[E(]X[Ed)(])X[E(]D[xxfxX1.5设随机变量X的概率密度为其他0101)(xxfX，求Y=5X+1的概率密度函数。解：反函数X=h(y)=(Y-1)/5h′(y)=1/51≤y≤6fY(y)=fX(h(y))｜h′(y)∣=1×1/5=1/5于是有其他0615/1)(yyfY1.6设随机变量]b,a[,,,21在nXXX上均匀分布，且互相独立。若n1iiXY,求（1）n=2时，随机变量Y的概率密度。（2）n=3时，随机变量Y的概率密度。解：nibxaabxfii,,2,101)(其它n=2时，)()()(21yfyfyfXXY111)()()(21dxxyfxfyfXXYbadxabab111ab1同理，n=3时，)(yfYab11.7设随机变量X的数学期望和方差分别为m和，求随机变量23XY的数学期望、方差及X和Y的相关矩。解：数学期望：23][mYE方差：90)3(][2YD]23[)]23([][2XXEXXEXYERXY222])[(][][mXEXDXE相关矩：mmRXY2332第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X和Y分别在[0,a]和[0,2]上均匀分布，且互相独立。对于ab，证明：abYbxP2)cos(证：rv.X和Y分别在[0,a]和[0,2]上均匀分布有其它001)(axaXf和其它0202)(yYf20cos0coscosyybxabybYbxYbxcos)20,cos0()cos(yybxpybxp2/0cos0),(ybdxdyyxfdy2/0cos0)()(ybdxdyyfxfdy因为rv.X和Y相互独立2/0cos021ybdxdyady2/0cos2ydyabab2命题得证1.10已知二维随机变量（21,XX）的联合概率密度为),(2121xxfXX，随机变量（21,XX）与随机变量（21,YY）的关系由下式唯一确定2111221111YdYcXYbYaX212211dXcXYbXaXY证明：（21,YY）的联合概率密度为),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY证：做由),(2121yyfYY到),(2121xxfXX的二维变换),(2121xxfXX=J),(2121yyfYY),(2121yyfYY=J1),(2121xxfXXbcaddcbaxyxyxyxyJ22122111),(1),(21112111212121ydycybyafbcadyyfXXYY1.11随机变量X,Y的联合概率密度为2,0)sin(),(yxyxAyxfXY求：（1）系数A；（2）X,Y的数学期望；（3）X,Y的方差；（4）X,Y的相关矩及相关系数。解：（1）202020202020sincoscossin)sin(),(ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY12A21A（2）ydyxydyxdyyxdyyxfxfXYXsincos21cossin21)sin(21),()(202020)cos(sin21xx同理)cos(sin21)(yyxfY2020202020sin21cos21cos21sin21)cos(sin21yydyydydyyydyydyyyymmYX2020sin2102sin21cos2102cos21ydyyyydyyy4（3）202022)4cos()4(22)cos(sin21)4(][][ydydyyyyYDXDdyyyyy202)4cos()4(22202)4cos()4(22202)4sin()4(216ydyydyyy202)4sin(202)4sin()4(21622162（4）相关矩2020202012)sin(21),(][dxdyyxxydxdyyxxyfXYERXYXY协方差1162][][2YEXERCXYXY相关系数32816822YXXYXYCr第四次作业：练习一之12、13、14、15题1.12求随机变量X的特征函数，已知随机变量X的概率密度02)(xexfxX解：dxexfΦxjXX)()(dxeetuxjx)(2利用傅氏变换：jetut1~)(jΦX2)(1.13已知随机变量X服从柯西分布221)(xxfX，求他的特征函数。解：dxexfΦxjXX)()(dxexxj22221利用傅氏变换：ex~222eΦX)(1.14求概率密度为xXexf21)(的随机变量X的特征函数。解：dxexfΦxjXX)()(dxeexjx21利用傅氏变换：xe~222211)(XΦ1.15已知相互独立的随机变量X1，X2，X3，…，Xn的特征函数，求X1，X2，X3，…，Xn线性组合niiicXaY1的特征函数。ai和c是常数。解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。][)]}({exp[)(11niXajcjniiiYiieEecXajE