北京东城区2018-2019高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案

1/12东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}AxxB，则AB(A){2,1}(B){2,0}(C){1,0}(D){2,1,0}(2)下列复数为纯虚数的是(A)21i(B)2ii(C)11i(D)2(1i)(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是(A)3yxx(B)2logyx(C)223yx(D)2yx(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3nm，则输出的p值为(A)360(B)60(C)36(D)12(5)“512m”是“函数()cos(2)6fxx的图象关于直线xm对称”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件2/12俯视图侧（左）视图正（主）视图122(6)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为(A)2(B)5(C)22(D)3(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sin的切线方程的是(A)cos2(B)2cos(C)cos1（D）sin1(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E和2E，则12EE的值所在的区间为(A)(1,2)(B)(5,6)(C)(7,8)(D)(15,16)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若,xy满足223,,xyxxy，≤≤≥则2xy的最小值为.22(10)1(23,0)______.3xymmm已知双曲线的一个焦点为，则(11)若等差数列{}na和等比数列{}nb满足111,2ab，321ab，试写出一组满足条件的数列{}na和{}nb的通项公式：na，nb.(12)在菱形ABCD中，若3BD，则CBDB的值为.3/12(13)函数()sin()cos()63fxxx在区间2[,]63上的最大值为.(14)已知函数()fx定义域为R，设()()1,()1()1.ffxfxFxfx，，①若22()1xfxx，则(1)_______fF；②若()e1axfx，且对任意xR，()()fFxfx，则实数a的取值范围为________.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题13分）在△ABC中，2sincossin.cABaC（Ⅰ）求B的大小；2cosABCaA(Ⅱ)若的面积为△，求的值.(16)（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望()EX.4/12(17)（本小题14分）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，2BCAD,E,F分别为,ADBC的中点，AEEF，2AFAE.将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE平面EFCD(如图2)，G是BF的中点.(Ⅰ)证明：ACEG；(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点H，使得DH平面ABFE？若存在，求BHBC的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角DACF的大小.(18)（本小题13分）已知函数2()e2xfxaxxx．(Ⅰ)当1a时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(Ⅱ)当0x时，若曲线()yfx在直线yx的上方，求实数a的取值范围．(19)（本小题13分）已知椭圆222:12xyCa过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A，直线AP与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.AB5/12(20)（本小题14分）对给定的dN，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}nnndaaaadnN.（Ⅰ）若数列{}Ω(2)na，写出3a的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d，若2d≥.求证：存在整数k，使得对Ω()d中的任意数列{}na，整数k不是数列{}na中的项；（Ⅲ）已知数列{}na，{}nb()d，记{}na，{}nb的前n项和分别为,nnAB.若11nnab，求证：nnAB≤.6/12东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）A（6）D（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4（10）3（11）2n（答案不唯一）（12）32（13）3（14）12(,ln2]三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:sin2sinsincos.sin2ABCaCcAaCBcA(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B又，=.4B所以.............................5分21sin,22.24S=ABCacaca(Ⅱ)因为的面积所以△22228222,5.2baaaaba由余弦定理所以，22258310cos.102522aaaAaa所以.............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x，7/12可得0.15x..............................3分（Ⅱ）0.1020.0520.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150..............................6分（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16，500.168,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CPXC；12353815(1)28CCPXC；21353815(2)56CCPXC；33381(3)56CPXC.所以X的分布列为：X0123P52815281556156故X的期望5151519()0123282856568EX..............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,2,AEEFAFAE可得△AEF为等腰直角三角形，AEEF.因为ADBC，所以,.EFBFEFFC因为平面ABFE平面,EFCDEF且两平面交于，CFCDEF平面，所以CFABFE平面.8/12又EGABFE平面，故CFEG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，AFEG所以；又AFFCF，EGAFC.所以平面ACAFC又平面，.ACEG所以.............................4分（II）由(Ⅰ)知：FE，FC，FB两两垂直，Fxyz如图建立空间直角坐标系，设1FE，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).FCBDHBC设是线段上一点，[0,1].BHBC则存在使得(0,2,22)(1,21,22).HDH因此点，(0,2,0).FCABFEFC由（Ⅰ）知为平面的法向量，DHABFE因为平面，0DHABFEDHFC所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.即-,-,-1=.2解得1.2BHBCHDHABFEBC所以在线段上存在点使得平面此时，..........................9分（III）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).AEG设，，由(I)可得,(1,0,1).EGAFCEG是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),ADCD设平面ACD的法向量为(,,)xyzn，由0,0ADCD，nn00.yzxy，即1,1,1.xyz令则(1,1,1).于是n=9/12cos,0.EGEGEG所以nnn所以二面角90.DACF的大小为.............................14分（18）（共13分）解：(Ⅰ)当1a时，2()e2xfxxxx，所以()e(1)22xfxxx，(0)1f.又因为(0)0f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为yx．.................4分(Ⅱ)当0x时，“曲线()yfx在直线yx的上方”等价于“2e2xaxxxx恒成立”，即0x时e10xax恒成立，由于e0x，所以等价于当0x时，1exxa恒成立.令1(),0exxgxx≥，则()exxgx.当0x≥时，有()0.gx≤所以g(x)在区间[0,)单调递减.1(0)1()[0,)0,1exxggxx故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a的取值范围为[1,)..............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2xyCa过点,，可得28a.10/12所以椭圆C的方程为22182xy，离心率63222e..........................4分（Ⅱ）直线AB与直线OP平行.证明如下：设直线:12PAykx，:12PBykx，(,)(,).AABBAxyBxy设点的坐标为点的坐标为，由2218221xyykxk，得222418(12)161640.kxkkxkk22228(12)16(12)8822,2.414141AAkkkkkkxxkkk则同理2288k241Bkxk，所以216k.41ABxxk21AAykxk由，21BBykxk，28441ABABkyykxxkk有，因为A在第四象限，所以0k，且A不在直线OP上.1.21,.2ABABABopABOPyykxxkkk又故所以直线与直线OP平行..............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)na，即2d，11.aAB11/12由已知有21123aad，所以23a，3222aada，将23a代入得3a的所有可能取值为5,1,1,5.......................